数理論理学・集合論の問題

自然数全体を $\mathbb{N}=\{0,1,2,\dots \}$（$0$ を含む）とする。カントールの対関数 $\pi :\mathbb{N}\times \mathbb{N}\to \mathbb{N}$ を
$$\pi (x,y)=\frac{(x+y)(x+y+1)}{2}+y$$
で定める。$\pi$ は全単射であるから、各 $n\in \mathbb{N}$ に対して $\pi (x,y)=n$ をみたす $(x,y)$ がただ 1 つ存在する。これを $x={\pi }_1(n)$, $y={\pi }_2(n)$ と書く（${\pi }_1,{\pi }_2$ は原始再帰関数である）。

関数 $g:\mathbb{N}\to \mathbb{N}$ を、累積再帰（course-of-values recursion）により
$$g(0)=0,g(n+1)=\pi (g({\pi }_2(n)),g({\pi }_1(n)))+1(n\in \mathbb{N})$$
で定める（${\pi }_1(n),{\pi }_2(n)\le n$ なので well-defined であり、$g$ は原始再帰関数である）。$g(2024)$ の値を求めよ。

$0$ 以上の整数全体を $\mathbb{N}=\{0,1,2,\dots \}$ とし、カントールの対関数 $J:\mathbb{N}\times \mathbb{N}\to \mathbb{N}$ を
$$J(x,y)=\frac{(x+y)(x+y+1)}{2}+y$$
で定める。$J$ は全単射である。$J(x,y)=33$ を満たす $(x,y)\in \mathbb{N}\times \mathbb{N}$ を求め、組 $(x,y)$ で答えよ。

自然数全体を $\mathbb{N}=\{0,1,2,\dots \}$（$0$ を含む）とし、$p_i$ を $i$ 番目の素数とする（$p_0=2,p_1=3,p_2=5,\dots$）。有限列 $(a_0,a_1,\dots ,a_{k-1})\in {\mathbb{N}}^k$ のゲーデル数を
$$⟨a_0,a_1,\dots ,a_{k-1}⟩=\prod _{i=0}^{k-1}{p}_i^{a_i+1}$$
で定める（空列のゲーデル数は $1$ とする）。

関数 $F:\mathbb{N}\to \mathbb{N}$ を
$$F(0)=1,F(1)=1,F(n+2)=F(n+1)+2F(n)(n\in \mathbb{N})$$
で定め、その累積値関数（course-of-values function）$\overline{F}:\mathbb{N}\to \mathbb{N}$ を
$$\overline{F}(n)=⟨F(0),F(1),\dots ,F(n-1)⟩$$
で定める。自然数 $\overline{F}(5)$ の正の約数の個数を求めよ。

$\mathbb{N}=\{0,1,2,\dots \}$（$0$ を含む）とする。カントールの対関数
$$J(x,y)=\frac{(x+y)(x+y+1)}{2}+y$$
は $\mathbb{N}\times \mathbb{N}$ から $\mathbb{N}$ への全単射であり、その逆写像の成分を $K,L:\mathbb{N}\to \mathbb{N}$（すなわち $J(K(n),L(n))=n$）とすると、$J,K,L$ はいずれも原始再帰関数である。$K(n)\le n,L(n)\le n$ に注意して、関数 $f:\mathbb{N}\to \mathbb{N}$ を累積再帰（course-of-values recursion）により
$$f(0)=1,f(n+1)=f(K(n))+f(L(n))(n\in \mathbb{N})$$
で定める（$f$ は原始再帰関数である）。$f(n)=9$ をみたす最小の $n\in \mathbb{N}$ を求めよ。

自然数全体を $\mathbb{N}=\{0,1,2,\dots \}$（$0$ を含む）とする。$\mathrm{rm}(x,y)$ を「$x$ を $y$ で割った余り」（$y\ge 1$）とし、ゲーデルの $\beta$ 関数を $$\beta (c,d,i)=\mathrm{rm}(c,1+(i+1)d)(c,d,i\in \mathbb{N})$$ で定める（$\beta$ は原始再帰関数である）。有限列 $(a_0,a_1,a_2)=(2,0,3)$ を、$s=\max \{3,a_0,a_1,a_2\}$ として $d=s!$ を用いて符号化する。すなわち $$\beta (c,d,0)=2,\beta (c,d,1)=0,\beta (c,d,2)=3$$ を満たす $c\in \mathbb{N}$ を考える。このような $c$ のうち最小のものを求めよ。