数理論理学・集合論の問題

自然数全体を $\mathbb{N}=\{0,1,2,\dots \}$（$0$ を含む）とする。カントールの対関数 $\pi :\mathbb{N}\times \mathbb{N}\to \mathbb{N}$ を
$$\pi (x,y)=\frac{(x+y)(x+y+1)}{2}+y$$
で定める。$\pi$ は全単射であるから、各 $n\in \mathbb{N}$ に対して $\pi (x,y)=n$ をみたす $(x,y)$ がただ 1 つ存在する。これを $x={\pi }_1(n)$, $y={\pi }_2(n)$ と書く（${\pi }_1,{\pi }_2$ は原始再帰関数である）。

関数 $g:\mathbb{N}\to \mathbb{N}$ を、累積再帰（course-of-values recursion）により
$$g(0)=0,g(n+1)=\pi (g({\pi }_2(n)),g({\pi }_1(n)))+1(n\in \mathbb{N})$$
で定める（${\pi }_1(n),{\pi }_2(n)\le n$ なので well-defined であり、$g$ は原始再帰関数である）。$g(2024)$ の値を求めよ。

この問題では自然数 $\mathbb{N}$ は $0$ を含むものとする。$p_0=2,p_1=3,p_2=5,p_3=7,p_4=11,p_5=13,\dots$ を小さい順に並べた素数とする（$p_i$ は $0$ 番目から数えて $i$ 番目の素数）。

正の整数 $c$ と $i\in \mathbb{N}$ に対し、$c$ を素因数分解したときの $p_i$ の指数を $e_i(c)$ とする（$p_i$ が $c$ を割り切らなければ $e_i(c)=0$）。さらに
$$(c{)}_i=\max (e_i(c)-1,0)$$
と定める。例えば $c=2^2\cdot 3^3$ のとき $e_0(c)=2,e_1(c)=3,e_2(c)=0$ なので $(c{)}_0=1,(c{)}_1=2,(c{)}_2=0$ である。

関数 $g:\mathbb{N}\times {\mathbb{Z}}_{>0}\to \mathbb{N}$ を、正の整数 $c$ に対して
$$g(0,c)=1,g(m,c)=(c{)}_{\lfloor m/2\rfloor }+(c{)}_{m-1}(m\ge 1)$$
で定める（右辺の 2 つの項はどちらも上で定めた $(c{)}_i$ の値の和であり、$g$ を再帰的に使うものではない）。さらに関数 $F:\mathbb{N}\to {\mathbb{Z}}_{>0}$ を
$$F(0)=1,F(n+1)=F(n)\cdot p_n^{g(n,F(n))+1}(n\in \mathbb{N})$$
で定める。例えば $F(1)=1\cdot p_0^{g(0,1)+1}=2^2$ である。

このとき、$F(6)$ を素因数分解したときの素数 $13$ の指数 $e_5(F(6))$ を求めよ。

$\mathbb{N}=\{0,1,2,\dots \}$（$0$ を含む）とする。カントールの対関数
$$J(x,y)=\frac{(x+y)(x+y+1)}{2}+y$$
は $\mathbb{N}\times \mathbb{N}$ から $\mathbb{N}$ への全単射であり、その逆写像の成分を $K,L:\mathbb{N}\to \mathbb{N}$（すなわち $J(K(n),L(n))=n$）とすると、$J,K,L$ はいずれも原始再帰関数である。$K(n)\le n,L(n)\le n$ に注意して、関数 $f:\mathbb{N}\to \mathbb{N}$ を累積再帰（course-of-values recursion）により
$$f(0)=1,f(n+1)=f(K(n))+f(L(n))(n\in \mathbb{N})$$
で定める（$f$ は原始再帰関数である）。$f(n)=9$ をみたす最小の $n\in \mathbb{N}$ を求めよ。

自然数全体を $\mathbb{N}=\{0,1,2,\dots \}$（$0$ を含む）とし、$p_i$ を $i$ 番目の素数とする（$p_0=2,p_1=3,p_2=5,\dots$）。有限列 $(a_0,a_1,\dots ,a_{k-1})\in {\mathbb{N}}^k$ のゲーデル数を
$$⟨a_0,a_1,\dots ,a_{k-1}⟩=\prod _{i=0}^{k-1}{p}_i^{a_i+1}$$
で定める（空列のゲーデル数は $1$ とする）。

関数 $F:\mathbb{N}\to \mathbb{N}$ を
$$F(0)=1,F(1)=1,F(n+2)=F(n+1)+2F(n)(n\in \mathbb{N})$$
で定め、その累積値関数（course-of-values function）$\overline{F}:\mathbb{N}\to \mathbb{N}$ を
$$\overline{F}(n)=⟨F(0),F(1),\dots ,F(n-1)⟩$$
で定める。自然数 $\overline{F}(5)$ の正の約数の個数を求めよ。

命題変数 $x_1,x_2,\dots ,x_6$ だけを用いた命題論理の論理式を考える（結合子は $\neg ,\wedge ,\vee ,\to$ を用いる）。2 つの論理式は、$x_1,\dots ,x_6$ へのすべての真理値割り当てで同じ真理値をとるとき同値であるという。次の 2 つの論理式を定める。
$$\phi =\underset{i=1}{\overset{5}{\bigwedge }}\left(x_i\vee x_{i+1}\right),\chi =\underset{i=1}{\overset{4}{\bigwedge }}\left(x_i\vee x_{i+1}\vee x_{i+2}\right).$$
$x_1,\dots ,x_6$ だけを用いた論理式 $\psi$ であって、$\phi \to \psi$ と $\psi \to \chi$ がともにトートロジー（恒真式）であるものを考える。このような $\psi$ の、同値関係による同値類の個数を求めよ。