数理論理学・集合論の問題

自然数全体を $\mathbb{N}=\{0,1,2,\dots \}$（$0$ を含む）とする。カントールの対関数 $\pi :\mathbb{N}\times \mathbb{N}\to \mathbb{N}$ を
$$\pi (x,y)=\frac{(x+y)(x+y+1)}{2}+y$$
で定める。$\pi$ は全単射であるから、各 $n\in \mathbb{N}$ に対して $\pi (x,y)=n$ をみたす $(x,y)$ がただ 1 つ存在する。これを $x={\pi }_1(n)$, $y={\pi }_2(n)$ と書く（${\pi }_1,{\pi }_2$ は原始再帰関数である）。

関数 $g:\mathbb{N}\to \mathbb{N}$ を、累積再帰（course-of-values recursion）により
$$g(0)=0,g(n+1)=\pi (g({\pi }_2(n)),g({\pi }_1(n)))+1(n\in \mathbb{N})$$
で定める（${\pi }_1(n),{\pi }_2(n)\le n$ なので well-defined であり、$g$ は原始再帰関数である）。$g(2024)$ の値を求めよ。

自然数は $0$ を含むものとし、$\mathbb{N}=\{0,1,2,\dots \}$ とする。$p_i$ で $i$ 番目の素数を表す（$p_0=2,p_1=3,p_2=5,\dots$）。$n\ge 1$ と $i\in \mathbb{N}$ に対し、$(n{)}_i$ を「$p_i^e\mid n$ となる最大の $e\in \mathbb{N}$」と定め、$(0{)}_i=0$ とする。

長さ $k\ge 0$ の有限列 $(a_0,a_1,\dots ,a_{k-1})\in {\mathbb{N}}^k$ のゲーデル数を
$$┌a_0,\dots ,a_{k-1}┐=\prod _{i<k}{p}_i^{a_i+1}$$
と定める（空列のゲーデル数は $1$）。関数 $F:\mathbb{N}\to \mathbb{N}$ を、$n$ がある有限列 $(a_0,\dots ,a_{k-1})$ のゲーデル数であるとき $F(n)={\sum }_{i<k}{a}_i$、そうでないとき $F(n)=0$ と定める。

$F$ が原始再帰関数であることを証明せよ。

ただし、次の事実は用いてよい。
- $x+y$, $x\cdot y$, $x\dot{-}y$（$x\ge y$ なら $x-y$、そうでなければ $0$）、$x\mapsto p_x$、$(n,i)\mapsto (n{)}_i$ は原始再帰関数であり、述語 $x\mid y$ と $x<y$ は原始再帰的である。
- 原始再帰関数・原始再帰的述語の全体は、合成、原始再帰、論理結合子 $\neg ,\wedge ,\vee ,\to$、有界量化 $\forall i<m$, $\exists i<m$（$m$ は原始再帰関数の値）で閉じている。また、述語 $P$ が原始再帰的であることは、その特性関数 ${\chi }_P$（$P$ が成り立てば $1$、そうでなければ $0$）が原始再帰関数であることと定義する。
- 素因数分解の一意性。

自然数全体を $\mathbb{N}=\{0,1,2,\dots \}$（$0$ を含む）とする。$\mathrm{rm}(x,y)$ を「$x$ を $y$ で割った余り」（$y\ge 1$）とし、ゲーデルの $\beta$ 関数を $$\beta (c,d,i)=\mathrm{rm}(c,1+(i+1)d)(c,d,i\in \mathbb{N})$$ で定める（$\beta$ は原始再帰関数である）。有限列 $(a_0,a_1,a_2)=(2,0,3)$ を、$s=\max \{3,a_0,a_1,a_2\}$ として $d=s!$ を用いて符号化する。すなわち $$\beta (c,d,0)=2,\beta (c,d,1)=0,\beta (c,d,2)=3$$ を満たす $c\in \mathbb{N}$ を考える。このような $c$ のうち最小のものを求めよ。

この問題では自然数 $\mathbb{N}$ は $0$ を含むものとする。$p_0=2,p_1=3,p_2=5,p_3=7,p_4=11,p_5=13,\dots$ を小さい順に並べた素数とする（$p_i$ は $0$ 番目から数えて $i$ 番目の素数）。

正の整数 $c$ と $i\in \mathbb{N}$ に対し、$c$ を素因数分解したときの $p_i$ の指数を $e_i(c)$ とする（$p_i$ が $c$ を割り切らなければ $e_i(c)=0$）。さらに
$$(c{)}_i=\max (e_i(c)-1,0)$$
と定める。例えば $c=2^2\cdot 3^3$ のとき $e_0(c)=2,e_1(c)=3,e_2(c)=0$ なので $(c{)}_0=1,(c{)}_1=2,(c{)}_2=0$ である。

関数 $g:\mathbb{N}\times {\mathbb{Z}}_{>0}\to \mathbb{N}$ を、正の整数 $c$ に対して
$$g(0,c)=1,g(m,c)=(c{)}_{\lfloor m/2\rfloor }+(c{)}_{m-1}(m\ge 1)$$
で定める（右辺の 2 つの項はどちらも上で定めた $(c{)}_i$ の値の和であり、$g$ を再帰的に使うものではない）。さらに関数 $F:\mathbb{N}\to {\mathbb{Z}}_{>0}$ を
$$F(0)=1,F(n+1)=F(n)\cdot p_n^{g(n,F(n))+1}(n\in \mathbb{N})$$
で定める。例えば $F(1)=1\cdot p_0^{g(0,1)+1}=2^2$ である。

このとき、$F(6)$ を素因数分解したときの素数 $13$ の指数 $e_5(F(6))$ を求めよ。

$p_0=2,p_1=3,p_2=5,p_3=7,\dots$ を小さい順に並べた素数とする。$0$ 以上の整数からなる長さ $k+1$ の有限列 $(a_0,a_1,\dots ,a_k)$（$k\geqq 0$）を
$$┌(a_0,a_1,\dots ,a_k)┐=\prod _{i=0}^k{p}_i^{a_i+1}$$
で正の整数に符号化する。符号が $1440600$ である列を求め、成分を順に並べた組で答えよ。