数理論理学・集合論の問題

自然数全体を $\mathbb{N}=\{0,1,2,\dots \}$（$0$ を含む）とし、$p_i$ を $i$ 番目の素数とする（$p_0=2,p_1=3,p_2=5,\dots$）。有限列 $(a_0,a_1,\dots ,a_{k-1})\in {\mathbb{N}}^k$ のゲーデル数を
$$⟨a_0,a_1,\dots ,a_{k-1}⟩=\prod _{i=0}^{k-1}{p}_i^{a_i+1}$$
で定める（空列のゲーデル数は $1$ とする）。

関数 $F:\mathbb{N}\to \mathbb{N}$ を
$$F(0)=1,F(1)=1,F(n+2)=F(n+1)+2F(n)(n\in \mathbb{N})$$
で定め、その累積値関数（course-of-values function）$\overline{F}:\mathbb{N}\to \mathbb{N}$ を
$$\overline{F}(n)=⟨F(0),F(1),\dots ,F(n-1)⟩$$
で定める。自然数 $\overline{F}(5)$ の正の約数の個数を求めよ。

自然数は $0$ を含むものとし、$\mathbb{N}=\{0,1,2,\dots \}$ とする。$p_i$ で $i$ 番目の素数を表す（$p_0=2,p_1=3,p_2=5,\dots$）。$n\ge 1$ と $i\in \mathbb{N}$ に対し、$(n{)}_i$ を「$p_i^e\mid n$ となる最大の $e\in \mathbb{N}$」と定め、$(0{)}_i=0$ とする。

長さ $k\ge 0$ の有限列 $(a_0,a_1,\dots ,a_{k-1})\in {\mathbb{N}}^k$ のゲーデル数を
$$┌a_0,\dots ,a_{k-1}┐=\prod _{i<k}{p}_i^{a_i+1}$$
と定める（空列のゲーデル数は $1$）。関数 $F:\mathbb{N}\to \mathbb{N}$ を、$n$ がある有限列 $(a_0,\dots ,a_{k-1})$ のゲーデル数であるとき $F(n)={\sum }_{i<k}{a}_i$、そうでないとき $F(n)=0$ と定める。

$F$ が原始再帰関数であることを証明せよ。

ただし、次の事実は用いてよい。
- $x+y$, $x\cdot y$, $x\dot{-}y$（$x\ge y$ なら $x-y$、そうでなければ $0$）、$x\mapsto p_x$、$(n,i)\mapsto (n{)}_i$ は原始再帰関数であり、述語 $x\mid y$ と $x<y$ は原始再帰的である。
- 原始再帰関数・原始再帰的述語の全体は、合成、原始再帰、論理結合子 $\neg ,\wedge ,\vee ,\to$、有界量化 $\forall i<m$, $\exists i<m$（$m$ は原始再帰関数の値）で閉じている。また、述語 $P$ が原始再帰的であることは、その特性関数 ${\chi }_P$（$P$ が成り立てば $1$、そうでなければ $0$）が原始再帰関数であることと定義する。
- 素因数分解の一意性。

$0$ 以上の整数全体を $\mathbb{N}=\{0,1,2,\dots \}$ とし、カントールの対関数 $J:\mathbb{N}\times \mathbb{N}\to \mathbb{N}$ を
$$J(x,y)=\frac{(x+y)(x+y+1)}{2}+y$$
で定める。$J$ は全単射である。$J(x,y)=33$ を満たす $(x,y)\in \mathbb{N}\times \mathbb{N}$ を求め、組 $(x,y)$ で答えよ。

$\omega$ を最小の無限順序数とし、$+$ と $\cdot$ は順序数の和と積とする。順序数
$$\alpha =(\omega \cdot 2+3)\cdot (\omega +2)$$
のカントール標準形を
$$\alpha ={\omega }^2\cdot a+\omega \cdot b+c(a,b,c\text{ は }0\text{ 以上の整数})$$
と表すとき、組 $(a,b,c)$ をこの順に求めよ。

$0$ 以上の整数全体を $\mathbb{N}=\{0,1,2,\dots \}$ とする。関数 $f:\mathbb{N}\to \mathbb{N}$ を、累積再帰
$$f(0)=1,f(n+1)=f(n)+f\left(\lfloor \frac{n}{2}\rfloor \right)(n\in \mathbb{N})$$
で定める。ここで $\lfloor t\rfloor$ は $t$ 以下の最大の整数である。$f(n)\ge 20$ となる最小の $n\in \mathbb{N}$ を求めよ。