数理論理学・集合論の問題

$\omega$ を最小の無限順序数とし、順序数の和・積・べきは通常の（超限帰納法による）順序数演算とする。積 $\alpha \cdot \beta$ は「$\alpha$ を $\beta$ 回並べたもの」を表す流儀（たとえば $\omega \cdot 2=\omega +\omega$, $2\cdot \omega =\omega$）とする。順序数
$$\delta =(\omega \cdot 2+1{)}^3+({\omega }^2\cdot 3+\omega \cdot 5+2)\cdot (\omega \cdot 2+4)$$
をカントール標準形で
$$\delta ={\omega }^3\cdot c_3+{\omega }^2\cdot c_2+\omega \cdot c_1+c_0(c_0,c_1,c_2,c_3\text{は自然数})$$
と表したとき、組 $(c_3,c_2,c_1,c_0)$ をこの順に求めよ。

$\omega$ を最小の無限順序数とし、順序数の和・積・べきは通常の（超限帰納法による）順序数演算とする。積 $\alpha \cdot \beta$ は「$\alpha$ を $\beta$ 回並べたもの」を表す流儀とし（たとえば $\omega \cdot 2=\omega +\omega$, $2\cdot \omega =\omega$）、${\alpha }^3=\alpha \cdot \alpha \cdot \alpha$ とする。 $$\alpha ={\omega }^2\cdot 2+\omega +3$$ とおく。${\alpha }^3$ のカントール標準形を $${\alpha }^3={\omega }^6\cdot a_6+{\omega }^5\cdot a_5+{\omega }^4\cdot a_4+{\omega }^3\cdot a_3+{\omega }^2\cdot a_2+\omega \cdot a_1+a_0(a_0,\dots ,a_6\text{は自然数})$$ と書くとき、組 $(a_6,a_5,a_4,a_3,a_2,a_1,a_0)$ を求めよ。

$\omega$ を最小の無限順序数とし、順序数の和・積は通常の（超限帰納法で定義される）順序数演算とする。積 $\alpha \cdot \beta$ は「$\alpha$ を $\beta$ 回並べたもの」を表す流儀とする（たとえば $\omega \cdot 2=\omega +\omega$、$2\cdot \omega =\omega$）。

順序数
$$\alpha =({\omega }^2+\omega \cdot 2+3)\cdot ({\omega }^2+4)$$
を考える。順序数 $\gamma$ であって、ある順序数 $\beta$ に対して $\beta +\gamma =\alpha$ が成り立つようなもの（$\gamma =0$ や $\gamma =\alpha$ も含む）の個数を求めよ。

$\omega$ を最小の無限順序数とし、順序数の和は通常の（超限帰納法で定義される）順序数の和とする。次の $5$ つの順序数を考える。
$${\alpha }_1={\omega }^2+1,{\alpha }_2=\omega \cdot 2+1,{\alpha }_3={\omega }^2\cdot 2+\omega ,{\alpha }_4=\omega +3,{\alpha }_5=2$$
ただし $\omega \cdot 2=\omega +\omega$、${\omega }^2\cdot 2={\omega }^2+{\omega }^2$ である。$\{1,2,3,4,5\}$ の置換 $\sigma$ それぞれに対して
$$S_{\sigma }={\alpha }_{\sigma (1)}+{\alpha }_{\sigma (2)}+{\alpha }_{\sigma (3)}+{\alpha }_{\sigma (4)}+{\alpha }_{\sigma (5)}$$
とおく（順序数の和は結合的なので括弧は不要）。$120$ 個の置換 $\sigma$ をすべて動かすとき、$S_{\sigma }$ として現れる相異なる順序数の個数を求めよ。

$0$ 以上の整数全体を $\mathbb{N}=\{0,1,2,\dots \}$ とする。関数 $f:\mathbb{N}\to \mathbb{N}$ を、累積再帰
$$f(0)=1,f(n+1)=f(n)+f\left(\lfloor \frac{n}{2}\rfloor \right)(n\in \mathbb{N})$$
で定める。ここで $\lfloor t\rfloor$ は $t$ 以下の最大の整数である。$f(n)\ge 20$ となる最小の $n\in \mathbb{N}$ を求めよ。