数理論理学・集合論の問題

使う性質（$\alpha ={\omega }^k\cdot a+(\text{次数が }k\text{ より小さい項})$, $k$ は自然数, $a\ge 1$ とする）
- 右分配法則: $\alpha \cdot (\beta +\gamma )=\alpha \cdot \beta +\alpha \cdot \gamma$（左分配法則は一般には成り立たない）。
- $\alpha \cdot \omega ={\sup }_{n<\omega }\alpha \cdot n={\omega }^{k+1}$。実際 ${\omega }^k\le \alpha <{\omega }^k\cdot (a+1)$ より ${\omega }^k\cdot n\le \alpha \cdot n\le {\omega }^k\cdot (a+1)n$ で、上限はどちらも ${\omega }^{k+1}$。
- 自然数 $n\ge 1$ に対し $\alpha \cdot n={\omega }^k\cdot (an)+(\text{残りの項})$。これは $\alpha +\alpha$ で、後ろの $\alpha$ の先頭 ${\omega }^k\cdot a$ が前の $\alpha$ の低次の項を吸収するからである。
- 和の吸収: $m<k$ なら ${\omega }^m\cdot b+{\omega }^k={\omega }^k$。

1. $(\omega \cdot 2+1{)}^3$ の計算

$\beta =\omega \cdot 2+1$ とすると、右分配法則より
$${\beta }^2=\beta \cdot (\omega \cdot 2+1)=(\beta \cdot \omega )\cdot 2+\beta ={\omega }^2\cdot 2+\omega \cdot 2+1.$$
同様に
$${\beta }^3={\beta }^2\cdot (\omega \cdot 2+1)=({\beta }^2\cdot \omega )\cdot 2+{\beta }^2={\omega }^3\cdot 2+{\omega }^2\cdot 2+\omega \cdot 2+1.$$

2. $({\omega }^2\cdot 3+\omega \cdot 5+2)\cdot (\omega \cdot 2+4)$ の計算

$\gamma ={\omega }^2\cdot 3+\omega \cdot 5+2$ とすると $\gamma \cdot \omega ={\omega }^3$ なので $\gamma \cdot (\omega \cdot 2)={\omega }^3\cdot 2$。また $\gamma \cdot 4={\omega }^2\cdot 12+\omega \cdot 5+2$。よって
$$\gamma \cdot (\omega \cdot 2+4)={\omega }^3\cdot 2+{\omega }^2\cdot 12+\omega \cdot 5+2.$$

3. 和
$$\delta =({\omega }^3\cdot 2+{\omega }^2\cdot 2+\omega \cdot 2+1)+({\omega }^3\cdot 2+{\omega }^2\cdot 12+\omega \cdot 5+2).$$
結合法則より、前半の低次の項 ${\omega }^2\cdot 2+\omega \cdot 2+1$ は後ろの ${\omega }^3\cdot 2$ に吸収される。したがって
$$\delta ={\omega }^3\cdot 4+{\omega }^2\cdot 12+\omega \cdot 5+2$$
となり、$(c_3,c_2,c_1,c_0)=(4,12,5,2)$。

$\alpha =\omega \cdot 2+1$ とおく。$\alpha \cdot \omega ={\omega }^2$（先頭項 $\omega \cdot 2$ に有限の $1$ が加わっても、$\omega$ 倍すると先頭の指数が 1 増えて ${\omega }^2$ になる）。

${\alpha }^2=\alpha \cdot (\omega \cdot 2+1)=\alpha \cdot \omega \cdot 2+\alpha ={\omega }^2\cdot 2+\omega \cdot 2+1$。

${\alpha }^2\cdot \omega ={\omega }^3$ なので
${\alpha }^3={\alpha }^2\cdot (\omega \cdot 2+1)={\omega }^3\cdot 2+{\omega }^2\cdot 2+\omega \cdot 2+1$。

次に $\beta ={\omega }^2\cdot 3+\omega \cdot 5+2$、$\gamma =\omega \cdot 2+4$ とする。$\beta \cdot \omega ={\omega }^3$ より $\beta \cdot (\omega \cdot 2)={\omega }^3\cdot 2$。有限の自然数 $n$ に対し $({\omega }^2\cdot 3+\text{下位})\cdot n={\omega }^2\cdot 3n+\text{下位}$ なので $\beta \cdot 4={\omega }^2\cdot 12+\omega \cdot 5+2$。よって
$\beta \cdot \gamma ={\omega }^3\cdot 2+{\omega }^2\cdot 12+\omega \cdot 5+2$。

和: $\delta =({\omega }^3\cdot 2+{\omega }^2\cdot 2+\omega \cdot 2+1)+({\omega }^3\cdot 2+{\omega }^2\cdot 12+\omega \cdot 5+2)$。後ろの項の先頭 ${\omega }^3\cdot 2$ が、前の項の ${\omega }^3$ より低い部分 ${\omega }^2\cdot 2+\omega \cdot 2+1$ を吸収するので
$\delta ={\omega }^3\cdot 4+{\omega }^2\cdot 12+\omega \cdot 5+2$。

検算: 吸収の規則 ${\omega }^3\cdot 2+{\omega }^2\cdot 2+\cdots +{\omega }^3\cdot 2={\omega }^3\cdot 4$（低次の項は ${\omega }^3\cdot 2$ の前で消える）に従っており、$\beta \cdot \gamma$ は右分配則 $\beta \cdot (\xi +\eta )=\beta \xi +\beta \eta$ のみを使った。したがって $(c_3,c_2,c_1,c_0)=(4,12,5,2)$。