数理論理学・集合論の問題

基本となる吸収則. カントール標準形で $\beta$ の最高次の項が ${\omega }^e$ の倍数のとき、$\alpha$ の項のうち指数が $e$ より小さいものは $\alpha +\beta$ で消える。特に $m,n$ を自然数として
$$n+\omega =\omega ,\omega \cdot m+n+\omega =\omega \cdot (m+1),\gamma +{\omega }^2={\omega }^2(\gamma <{\omega }^2).$$
また和は結合的で、左からの消去則 $\delta +\beta =\delta +{\beta }^{\prime }\Rightarrow \beta ={\beta }^{\prime }$ が成り立つ。

${\omega }^2$ の部分. ${\alpha }_4,{\alpha }_5$ の 2 つは最高次の項が ${\omega }^2$、残りの ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$ はすべて ${\omega }^2$ 未満である。並びの中で ${\alpha }_4,{\alpha }_5$ のうち先に現れる方を $F$、後に現れる方を $L$ とし、$L$ より後ろの項の和（左から順）を $T$ とする（後ろに何もなければ $T=0$）。

• $F$ より前の項の和は ${\omega }^2$ 未満なので、$F$ に吸収される。
• $F={\omega }^2+r_F$ と $F$ と $L$ の間の項の和を足したものは ${\omega }^2+\gamma$（$\gamma <{\omega }^2$）の形で、これに $L={\omega }^2+r_L$ を足すと $\gamma$ は吸収され ${\omega }^2\cdot 2+r_L$ となる。ここで $L={\alpha }_4$ なら $r_L=0$、$L={\alpha }_5$ なら $r_L=1$。

よって
$$S_{\pi }={\omega }^2\cdot 2+r_L+T.$$
$T$ は $\{{\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3\}$ の部分集合を並べて足したものであり、どの部分集合のどの並べ方も（残りの項を $F$ より前に置くことで）実現できる。また $L$ は ${\alpha }_4,{\alpha }_5$ のどちらにもできる。

$T$ のとりうる値. $1,\omega ,\omega +2$ から相異なるものを選んで並べた和を全部計算する。
- 0 個：$0$
- 1 個：$1,\omega ,\omega +2$
- 2 個：$1+\omega =\omega$、$\omega +1$、$1+(\omega +2)=\omega +2$、$(\omega +2)+1=\omega +3$、$\omega +(\omega +2)=\omega \cdot 2+2$、$(\omega +2)+\omega =\omega \cdot 2$
- 3 個：
- $1+\omega +(\omega +2)=\omega \cdot 2+2$
- $1+(\omega +2)+\omega =\omega \cdot 2$
- $\omega +1+(\omega +2)=\omega \cdot 2+2$
- $\omega +(\omega +2)+1=\omega \cdot 2+3$
- $(\omega +2)+1+\omega =\omega \cdot 2$
- $(\omega +2)+\omega +1=\omega \cdot 2+1$

したがって $T$ のとりうる値の集合は
$$\mathcal{T}=\{0,1,\omega ,\omega +1,\omega +2,\omega +3,\omega \cdot 2,\omega \cdot 2+1,\omega \cdot 2+2,\omega \cdot 2+3\}$$
の $10$ 個である。

$S_{\pi }$ のとりうる値.

$(1)$ $L={\alpha }_4$ のとき：$S_{\pi }={\omega }^2\cdot 2+T$ で、$T\in \mathcal{T}$ がすべて現れる。左消去則より、これらは $10$ 個の相異なる値である。

$(2)$ $L={\alpha }_5$ のとき：$S_{\pi }={\omega }^2\cdot 2+(1+T)$。$T\in \mathcal{T}$ に対し $1+T$ は
$$1+0=1,1+1=2,1+(\omega \cdot m+n)=\omega \cdot m+n(m\ge 1)$$
なので、$1+T$ の値の集合は $\{1,2\}\cup (\mathcal{T}\setminus \{0,1\})$ である。このうち $\mathcal{T}$ に含まれないのは $2$ だけ。

よって $S_{\pi }$ の値の集合は $\{{\omega }^2\cdot 2+t:t\in \mathcal{T}\cup \{2\}\}$ であり、左消去則から相異なる値の個数は
$$10+1=11$$
である（新たに加わるのは $L={\alpha }_5$ の直後に ${\alpha }_1=1$ だけが続く場合の ${\omega }^2\cdot 2+2$）。

記号: $a=1,b=\omega ,c=\omega +2,d={\omega }^2,e={\omega }^2+1$。順序数の和では、$\alpha +\beta$ のとき $\beta$ の最高次の項 ${\omega }^k$ より次数の低い $\alpha$ の項が吸収される。

【$d,e$ を含む前半】最後に現れる $d,e$（これを $L$ とする）までの和を $P$ とする。それまでに現れる $a,b,c$（次数 2 未満）は、すぐ後の ${\omega }^2$ を最高次とする項に吸収される。
- $d$ が $e$ より先: ${\omega }^2+(\text{吸収される項})+{\omega }^2+1={\omega }^2\cdot 2+1$
- $e$ が $d$ より先: ${\omega }^2+1+(\text{吸収される項})+{\omega }^2={\omega }^2\cdot 2$（$1$ も吸収される）

【後半】$L$ より後ろに、$a,b,c$ の部分集合 $S$ がある順序で並ぶ。その和を $T$ とすると、全体は $P+T$（$T<{\omega }^2$）。$T$ の取りうる値を列挙する。
- 空: $0$。$\{a\}$: $1$。$\{b\}$: $\omega$。$\{c\}$: $\omega +2$。
- $\{a,b\}$: $1+\omega =\omega$、$\omega +1$。
- $\{a,c\}$: $1+\omega +2=\omega +2$、$\omega +2+1=\omega +3$。
- $\{b,c\}$: $\omega +\omega +2=\omega \cdot 2+2$、$\omega +2+\omega =\omega \cdot 2$。
- $\{a,b,c\}$: $\omega \cdot 2+2,\omega \cdot 2,\omega \cdot 2+2,\omega \cdot 2+3,\omega \cdot 2,\omega \cdot 2+1$。

$\omega$ を含む $T$ の相異なる値は $\omega ,\omega +1,\omega +2,\omega +3,\omega \cdot 2,\omega \cdot 2+1,\omega \cdot 2+2,\omega \cdot 2+3$ の 8 個。有限の $T$ は $0,1$。

【全体】$P+T$ を求める。$T$ が $\omega$ を含むと $P$ の末尾の $+1$ は吸収されるので、$P$ の違いによらず ${\omega }^2\cdot 2+T$（8 個）。
- $P={\omega }^2\cdot 2+1$: $T=0$ で ${\omega }^2\cdot 2+1$、$T=1$ で ${\omega }^2\cdot 2+2$。
- $P={\omega }^2\cdot 2$: $T=0$ で ${\omega }^2\cdot 2$、$T=1$ で ${\omega }^2\cdot 2+1$。

相異なる値は、${\omega }^2\cdot 2,{\omega }^2\cdot 2+1,{\omega }^2\cdot 2+2$ の 3 個と、${\omega }^2\cdot 2+T$ の 8 個で、合計 $3+8=11$。これらはすべて互いに異なる（後者は $\omega$ の係数が 1 以上、前者は 0）。

検算: たとえば $a,b,c,d,e$ の順では $1+\omega +\omega +2+{\omega }^2+{\omega }^2+1={\omega }^2\cdot 2+1$、$e,d,c,b,a$ の順では ${\omega }^2+1+{\omega }^2+\omega +2+\omega +1={\omega }^2\cdot 2+\omega \cdot 2+1$ となり、上の分類に含まれる。