数理論理学・集合論の問題

順序数の積について、左分配法則 $\gamma \cdot ({\beta }_1+{\beta }_2)=\gamma \cdot {\beta }_1+\gamma \cdot {\beta }_2$ と結合法則が成り立つ（右分配法則は一般に成り立たない）。また次の 2 つの事実を使う。

事実 1. $\gamma$ のカントール標準形の最高次の項が ${\omega }^e\cdot c$（$c\ge 1$）のとき、正の整数 $n$ に対し $\gamma \cdot {\omega }^n={\omega }^{e+n}$。実際 $\gamma \cdot \omega ={\sup }_k\gamma \cdot k$ で、${\omega }^e\le \gamma <{\omega }^{e+1}$ より ${\omega }^e\cdot k\le \gamma \cdot k<{\omega }^{e+1}$ なので $\gamma \cdot \omega ={\omega }^{e+1}$。これをくり返せばよい。

事実 2. $\gamma ={\omega }^e\cdot c+\delta$（$\delta <{\omega }^e$）のとき、正の整数 $k$ に対し $\gamma \cdot k={\omega }^e\cdot (ck)+\delta$。$\gamma +\gamma$ では、前の $\gamma$ の $\delta$ が後ろの ${\omega }^e\cdot c$ に吸収される（$\delta +{\omega }^e={\omega }^e$）からである。

${\alpha }^2$ の計算. ${\alpha }^2=\alpha \cdot ({\omega }^2\cdot 2+\omega +3)=\alpha \cdot {\omega }^2\cdot 2+\alpha \cdot \omega +\alpha \cdot 3$。$\alpha$ の最高次は ${\omega }^2\cdot 2$ なので
- $\alpha \cdot {\omega }^2\cdot 2={\omega }^4\cdot 2$
- $\alpha \cdot \omega ={\omega }^3$
- $\alpha \cdot 3={\omega }^2\cdot 6+\omega +3$

よって $${\alpha }^2={\omega }^4\cdot 2+{\omega }^3+{\omega }^2\cdot 6+\omega +3.$$

${\alpha }^3$ の計算. ${\alpha }^3={\alpha }^2\cdot \alpha ={\alpha }^2\cdot {\omega }^2\cdot 2+{\alpha }^2\cdot \omega +{\alpha }^2\cdot 3$。${\alpha }^2$ の最高次は ${\omega }^4\cdot 2$ なので
- ${\alpha }^2\cdot {\omega }^2\cdot 2={\omega }^6\cdot 2$
- ${\alpha }^2\cdot \omega ={\omega }^5$
- ${\alpha }^2\cdot 3={\omega }^4\cdot 6+{\omega }^3+{\omega }^2\cdot 6+\omega +3$

これらを順に足すと（指数が降順に並ぶので吸収は起こらない） $${\alpha }^3={\omega }^6\cdot 2+{\omega }^5+{\omega }^4\cdot 6+{\omega }^3+{\omega }^2\cdot 6+\omega +3.$$

したがって $(a_6,a_5,a_4,a_3,a_2,a_1,a_0)=(2,1,6,1,6,1,3)$ である。

順序数の積は $\alpha \cdot \beta$ が「$\alpha$ を $\beta$ 回並べる」流儀。$\alpha ={\omega }^2\cdot 2+\omega +3$ とする。

補題: $\alpha \cdot {\omega }^k={\omega }^{2+k}$ ($k\ge 1$)。実際 $\alpha \cdot \omega ={\sup }_n\alpha \cdot n={\omega }^3$、同様に $\alpha \cdot {\omega }^2={\omega }^4$。また $\gamma \cdot {\omega }^k\cdot m=\gamma \cdot {\omega }^k$ を $m$ 回並べたもの。

${\alpha }^2=\alpha \cdot ({\omega }^2\cdot 2+\omega +3)=\alpha \cdot {\omega }^2\cdot 2+\alpha \cdot \omega +\alpha \cdot 3$。
- $\alpha \cdot {\omega }^2\cdot 2={\omega }^4\cdot 2$
- $\alpha \cdot \omega ={\omega }^3$
- $\alpha \cdot 3=\alpha +\alpha +\alpha$。$\alpha +\alpha ={\omega }^2\cdot 2+{\omega }^2\cdot 2+\omega +3={\omega }^2\cdot 4+\omega +3$（$\omega +3$ は ${\omega }^2$ に吸収されず、後ろの ${\omega }^2\cdot 2$ が前の低次項を吸収する）、さらに $+\alpha$ で ${\omega }^2\cdot 6+\omega +3$。

よって ${\alpha }^2={\omega }^4\cdot 2+{\omega }^3+{\omega }^2\cdot 6+\omega +3$。

${\alpha }^3={\alpha }^2\cdot ({\omega }^2\cdot 2+\omega +3)$。${\alpha }^2$ の最高次は ${\omega }^4$ なので
- ${\alpha }^2\cdot {\omega }^2\cdot 2={\omega }^6\cdot 2$
- ${\alpha }^2\cdot \omega ={\omega }^5$
- ${\alpha }^2\cdot 3={\alpha }^2+{\alpha }^2+{\alpha }^2={\omega }^4\cdot 6+{\omega }^3+{\omega }^2\cdot 6+\omega +3$

ゆえに ${\alpha }^3={\omega }^6\cdot 2+{\omega }^5+{\omega }^4\cdot 6+{\omega }^3+{\omega }^2\cdot 6+\omega +3$。

検算: ${\alpha }^3=\alpha \cdot {\alpha }^2$ でも、最高次 ${\omega }^6\cdot 2$ は $\alpha \cdot {\omega }^4\cdot 2={\omega }^6\cdot 2$ で一致し、次の項 $\alpha \cdot {\omega }^3={\omega }^5$、$\alpha \cdot ({\omega }^2\cdot 6)={\omega }^4\cdot 6$、$\alpha \cdot \omega ={\omega }^3$、$\alpha \cdot 3={\omega }^2\cdot 6+\omega +3$ となり、同じ結果を得る（結合律）。

$(a_6,\dots ,a_0)=(2,1,6,1,6,1,3)$。