数理論理学・集合論の問題

2 項関係記号 $R$ だけからなる言語を考え、台集合を $M=\{1,2,3,4\}$ に固定する。$R$ の解釈 $R^{\mathcal{M}}\subseteq M\times M$ を 1 つ選ぶごとに構造 $\mathcal{M}=(M,R^{\mathcal{M}})$ が 1 つ定まる。文
$$\phi :\forall x\exists y(R(x,y)\wedge \forall z(R(x,z)\to z=y))\wedge \forall x\neg R(x,x)$$
について、$\mathcal{M}\models \phi$ となる $R^{\mathcal{M}}$ の個数を求めよ。ただし $=$ は台集合の元の等しさと解釈し、$R^{\mathcal{M}}$ は $M\times M$ の部分集合として異なれば別のものと数える。

2 項関係記号 $R$ だけからなる一階の言語（等号を含む）を考える。台集合を $A=\{1,2,3,4\}$ に固定し、$R$ の解釈 $R^{\mathcal{M}}\subseteq A\times A$ を 1 つ定めるごとに構造 $\mathcal{M}=(A,R^{\mathcal{M}})$ が 1 つ定まるものとする（同型な構造でも $R^{\mathcal{M}}$ が異なれば別の構造として数える）。次の文 $\phi$ を考える。
$$\phi :\forall x\neg R(x,x)\wedge \forall x\forall y(R(x,y)\to R(y,x))\wedge \forall x\exists yR(x,y)$$
$\mathcal{M}\models \phi$ となる構造 $\mathcal{M}$（すなわち $R^{\mathcal{M}}$）の個数を求めよ。

1 項関数記号 $f$ と 1 項関係記号 $P$ からなる等号付きの一階の言語を考える。台集合を $A=\{1,2,3,4,5,6\}$ に固定する。写像 $g:A\to A$ と部分集合 $S\subseteq A$ を 1 つずつ選ぶごとに、$f$ を $g$、$P$ を $S$ と解釈し、等号は $A$ 上の本当の等号と解釈して、構造 $\mathcal{M}=(A,g,S)$ が 1 つ定まる。

次の文を $\phi$ とする。
$$\phi :\forall x(f(f(x))=x)\wedge \forall x(f(x)=x\to P(x))\wedge \forall x(P(x)\wedge P(f(x))\to f(x)=x)$$

組 $(g,S)$ のうち、$\mathcal{M}=(A,g,S)$ が $\phi$ のモデルとなる（$\mathcal{M}\models \phi$ となる）ものの個数を求めよ。ただし、同型な構造でも $(g,S)$ が異なれば別のものとして数える。

1 項関数記号 $f$ と 1 項関係記号 $P$ からなる一階の言語（等号を含む）を考える。台集合を $A=\{1,2,3,4,5,6\}$ に固定し、関数 $f^{\mathcal{M}}:A\to A$ と部分集合 $P^{\mathcal{M}}\subseteq A$ の組を 1 つ定めるごとに構造 $\mathcal{M}=(A,f^{\mathcal{M}},P^{\mathcal{M}})$ が 1 つ定まるとする。次の 2 つの文
$${\phi }_1:\forall x(f(f(x))=x),{\phi }_2:\forall x(P(x)\to \neg P(f(x)))$$
をともにみたす構造 $\mathcal{M}$（すなわち $\mathcal{M}\models {\phi }_1\wedge {\phi }_2$ となる組 $(f^{\mathcal{M}},P^{\mathcal{M}})$）の個数を求めよ。ただし、同型な構造であっても $(f^{\mathcal{M}},P^{\mathcal{M}})$ が異なれば別のものとして数える。

2 項関係記号 $E$ だけからなる言語の構造 $\mathcal{G}=(V,E^{\mathcal{G}})$ を、台集合 $V=\{1,2,3,4,5,6\}$、
$$E^{\mathcal{G}}=\{(a,b)\mid \{a,b\}\in \{\{1,2\},\{1,3\},\{1,4\},\{1,5\},\{5,6\}\}\}$$
で定める（$E^{\mathcal{G}}$ は対称で、5 本の辺をもつ無向グラフを表す）。$\mathcal{G}$ の自己同型、すなわち全単射 $\sigma :V\to V$ であって、すべての $a,b\in V$ について $E(a,b)⟺E(\sigma (a),\sigma (b))$ を満たすものの個数を求めよ。