数理論理学・集合論の問題

2 項関係記号 $R$ だけからなる一階の言語（等号を含む）を考える。台集合を $A=\{1,2,3,4\}$ に固定し、$R$ の解釈 $R^{\mathcal{M}}\subseteq A\times A$ を 1 つ定めるごとに構造 $\mathcal{M}=(A,R^{\mathcal{M}})$ が 1 つ定まるものとする（同型な構造でも $R^{\mathcal{M}}$ が異なれば別の構造として数える）。次の文 $\phi$ を考える。
$$\phi :\forall x\neg R(x,x)\wedge \forall x\forall y(R(x,y)\to R(y,x))\wedge \forall x\exists yR(x,y)$$
$\mathcal{M}\models \phi$ となる構造 $\mathcal{M}$（すなわち $R^{\mathcal{M}}$）の個数を求めよ。

2 項関係記号 $D$ だけからなる言語の構造 $\mathcal{M}$ を、台集合 $M=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}$ とし、$D$ を「割り切る」と解釈したものとする。すなわち $a,b\in M$ に対して $\mathcal{M}\models D(a,b)$ となるのは、$a$ が $b$ を割り切る（ある整数 $k$ で $b=ka$ となる）ときであり、そのときに限る。

自由変数 $x$ をもつ論理式
$$\phi (x):\forall y(D(x,y)\to y=x)$$
について、$\mathcal{M}\models \phi (a)$ となる $a\in M$ の集合を求めよ。ただし $=$ は台集合の元の等しさと解釈する。

1 項関数記号 $f$ と 1 項関係記号 $P$ からなる等号付きの一階の言語を考える。台集合を $A=\{1,2,3,4,5,6\}$ に固定する。写像 $g:A\to A$ と部分集合 $S\subseteq A$ を 1 つずつ選ぶごとに、$f$ を $g$、$P$ を $S$ と解釈し、等号は $A$ 上の本当の等号と解釈して、構造 $\mathcal{M}=(A,g,S)$ が 1 つ定まる。

次の文を $\phi$ とする。
$$\phi :\forall x(f(f(x))=x)\wedge \forall x(f(x)=x\to P(x))\wedge \forall x(P(x)\wedge P(f(x))\to f(x)=x)$$

組 $(g,S)$ のうち、$\mathcal{M}=(A,g,S)$ が $\phi$ のモデルとなる（$\mathcal{M}\models \phi$ となる）ものの個数を求めよ。ただし、同型な構造でも $(g,S)$ が異なれば別のものとして数える。

2 項関係記号 $E$ だけからなる一階の言語（等号を含む）を考える。台集合を $A=\{1,2,3,4,5,6\}$ に固定し、$E$ の解釈 $E^{\mathcal{M}}\subseteq A\times A$ を 1 つ定めるごとに構造 $\mathcal{M}=(A,E^{\mathcal{M}})$ が 1 つ定まるとする。次の 3 つの文の連言を $\sigma ={\sigma }_1\wedge {\sigma }_2\wedge {\sigma }_3$ とおく。
$${\sigma }_1:\forall x\neg E(x,x)$$
$${\sigma }_2:\forall x\forall y(E(x,y)\to E(y,x))$$
$${\sigma }_3:\forall x\exists y\exists z(y\ne z\wedge E(x,y)\wedge E(x,z)\wedge \forall w(E(x,w)\to (w=y\vee w=z)\left)\right)$$
$\mathcal{M}\models \sigma$ となる $E^{\mathcal{M}}\subseteq A\times A$ の個数を求めよ（同型な構造も、$E^{\mathcal{M}}$ が集合として異なれば別に数える）。

1 項関数記号 $f$ と 1 項関係記号 $P$ からなる一階の言語（等号を含む）を考える。台集合を $A=\{1,2,3,4,5,6\}$ に固定し、関数 $f^{\mathcal{M}}:A\to A$ と部分集合 $P^{\mathcal{M}}\subseteq A$ の組を 1 つ定めるごとに構造 $\mathcal{M}=(A,f^{\mathcal{M}},P^{\mathcal{M}})$ が 1 つ定まるとする。次の 2 つの文
$${\phi }_1:\forall x(f(f(x))=x),{\phi }_2:\forall x(P(x)\to \neg P(f(x)))$$
をともにみたす構造 $\mathcal{M}$（すなわち $\mathcal{M}\models {\phi }_1\wedge {\phi }_2$ となる組 $(f^{\mathcal{M}},P^{\mathcal{M}})$）の個数を求めよ。ただし、同型な構造であっても $(f^{\mathcal{M}},P^{\mathcal{M}})$ が異なれば別のものとして数える。