集合と位相の問題

方針：下からの評価と上からの評価を作り、ベルンシュタインの定理で濃度を決める。

1. 下からの評価 $\mathfrak{c}\leqq |C|$

実数 $a$ に定数関数 $f_a(x)=a$ を対応させる。定数関数は連続なので $f_a\in C$ である。$a\ne b$ なら $f_a\ne f_b$ だから、写像 $a\mapsto f_a$ は $\mathbb{R}$ から $C$ への単射である。よって $\mathfrak{c}\leqq |C|$。

2. 上からの評価 $|C|\leqq \mathfrak{c}$

$\mathbb{Q}$ を有理数全体の集合とし、$f\in C$ に、$f$ を $\mathbb{Q}$ に制限した写像 $f{|}_{\mathbb{Q}}:\mathbb{Q}\to \mathbb{R}$ を対応させる写像
$$\Phi :C\to {\mathbb{R}}^{\mathbb{Q}},\Phi (f)=f{|}_{\mathbb{Q}}$$
を考える（${\mathbb{R}}^{\mathbb{Q}}$ は $\mathbb{Q}$ から $\mathbb{R}$ への写像全体）。

$\Phi$ が単射であることを示す。$f,g\in C$ がすべての有理数 $q$ で $f(q)=g(q)$ を満たすとする。任意の実数 $x$ に対し、$x$ に収束する有理数の数列 $(q_n)$ がとれる（たとえば $x$ の小数展開を第 $n$ 位で切った数）。$f,g$ は連続なので
$$f(x)=\underset{n\to \infty }{\lim }f(q_n)=\underset{n\to \infty }{\lim }g(q_n)=g(x).$$
よって $f=g$ であり、$\Phi$ は単射である。

次に ${\mathbb{R}}^{\mathbb{Q}}$ の濃度を計算する。$|\mathbb{Q}|={\aleph }_0$ なので
$$|{\mathbb{R}}^{\mathbb{Q}}|={\mathfrak{c}}^{{\aleph }_0}={\left(2^{{\aleph }_0}\right)}^{{\aleph }_0}=2^{{\aleph }_0\cdot {\aleph }_0}=2^{{\aleph }_0}=\mathfrak{c}.$$
（これが公式 ${\mathfrak{c}}^{{\aleph }_0}=\mathfrak{c}$ である。）したがって $|C|\leqq \mathfrak{c}$。

3. ベルンシュタインの定理

$\mathfrak{c}\leqq |C|$ かつ $|C|\leqq \mathfrak{c}$ なので、ベルンシュタインの定理より $|C|=\mathfrak{c}=2^{{\aleph }_0}$。

（参考：連続とは限らない写像 $\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ 全体の濃度は ${\mathfrak{c}}^{\mathfrak{c}}=2^{\mathfrak{c}}>\mathfrak{c}$ なので、連続という条件で濃度が大きく下がっている。）

答え：$2^{{\aleph }_0}$

$C$ の濃度が $2^{{\aleph }_0}$ であることを、下からの評価と上からの評価で示す。

(下からの評価) 定数関数 $f_a(x)=a$（$a\in \mathbb{R}$）は連続である。$a\mapsto f_a$ は $\mathbb{R}$ から $C$ への単射なので、$|C|\ge \mathfrak{c}$。

(上からの評価) 連続関数 $f$ は、有理数全体 $\mathbb{Q}$ への制限 $f{|}_{\mathbb{Q}}$ で決まる。実際、$f,g\in C$ が $\mathbb{Q}$ 上で一致すれば、任意の実数 $x$ に対し有理数列 $q_n\to x$ をとると $f(x)=\lim f(q_n)=\lim g(q_n)=g(x)$ となる。よって写像 $f\mapsto f{|}_{\mathbb{Q}}$ は $C$ から ${\mathbb{R}}^{\mathbb{Q}}$ への単射である。

$|{\mathbb{R}}^{\mathbb{Q}}|={\mathfrak{c}}^{{\aleph }_0}=(2^{{\aleph }_0}{)}^{{\aleph }_0}=2^{{\aleph }_0\cdot {\aleph }_0}=2^{{\aleph }_0}$。したがって $|C|\le 2^{{\aleph }_0}$。

ベルンシュタインの定理より $|C|=2^{{\aleph }_0}$。

(検算) 全関数の集合 ${\mathbb{R}}^{\mathbb{R}}$ の濃度は $2^{2^{{\aleph }_0}}$ で、連続という条件によりそれよりずっと小さくなる。これは上の評価と整合する。