集合と位相の問題

$A=\{1,2,3\}$, $B=\{a,b,c,d\}$ とする。$\mathcal{P}(A)$ を $A$ のべき集合（$A$ の部分集合全体の集合）とし、$I$ を $A$ から $B$ への単射全体の集合とする。直積集合
$$\mathcal{P}(A)\times I=\{(S,f)\mid S\subset A,f:A\to B\text{ は単射}\}$$
の濃度（元の個数）を求めよ。

$A=\{1,2,3\}$, $B=\{a,b,c,d\}$ とする。$A$ のべき集合（$A$ の部分集合全体の集合）を $\mathcal{P}(A)$、$A$ から $B$ への単射全体の集合を $I$ とする。直積集合
$$X=\mathcal{P}(A)\times I=\{(S,g)\mid S\subseteq A,g:A\to B\text{ は単射}\}$$
の濃度 $|X|$ を求めよ。

$A=\{1,2,3\}$, $B=\{4,5\}$ とし、$\mathcal{P}(A)$ を $A$ のべき集合（$A$ の部分集合全体の集合）とする。写像 $f:B\to \mathcal{P}(A)$ と元 $x\in A\cup B$ の組全体の集合
$$T=\{(f,x)\mid f:B\to \mathcal{P}(A)\text{は写像},x\in A\cup B\}$$
の濃度 $|T|$ を求めよ。

$A=\{1,2,3,4\}$, $B=\{a,b,c\}$ とする。$A$ の部分集合 $S$ と写像 $f:S\to B$ の組 $(S,f)$ 全体の集合
$$P=\{(S,f)\mid S\subseteq A,f\text{ は }S\text{ から }B\text{ への写像}\}$$
の濃度 $|P|$ を求めよ。ただし、$S=\varnothing$ のときは、$\varnothing$ から $B$ への写像は空写像のただ $1$ つであるとする。

実数全体の集合を $\mathbb{R}$ とし、その濃度を $\mathfrak{c}=2^{{\aleph }_0}$ とする。$\mathbb{R}$ から $\mathbb{R}$ への連続関数全体の集合を
$$C=\{f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\mid f\text{ は連続}\}$$
とする。$C$ の濃度を求めよ。答えは ${\aleph }_0$ と $2$ を使った記号（$2^{{\aleph }_0}$、$2^{2^{{\aleph }_0}}$ など）で答えよ。