集合と位相の問題

方法 1（$S$ の大きさで分けて数える）

$|S|=k$（$0\le k\le 4$）となる $S\subseteq A$ は $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{k}\right)$ 個ある。各 $S$ に対して、写像 $f:S\to B$ の全体は $B^S$ で、その濃度は $|B{|}^{|S|}=3^k$ である（$k=0$ のときは空写像のみで $3^0=1$ 個）。よって
$$|P|=\sum _{k=0}^4\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{k}\right)3^k=1+4\cdot 3+6\cdot 9+4\cdot 27+1\cdot 81=1+12+54+108+81=256.$$

方法 2（全単射を作る）

$B$ に属さない新しい元 $\ast$ を $1$ つ用意し、$B^{\prime }=B\cup \{\ast \}$ とする。$(S,f)\in P$ に対して、写像 $g:A\to B^{\prime }$ を
$$g(x)=\{\begin{array}{ll}f(x)& (x\in S)\\ \ast & (x\notin S)\end{array}$$
で定める。逆に $g:A\to B^{\prime }$ が与えられれば、$S=\{x\in A\mid g(x)\ne \ast \}$、$f=g{|}_S$ とおくことで $(S,f)$ がただ $1$ つ定まる。したがって $(S,f)\mapsto g$ は $P$ から $B^{\prime A}$ への全単射であり、
$$|P|=|B^{\prime A}|=|B^{\prime }{|}^{|A|}=(3+1{)}^4=4^4=256.$$

方法 1 と方法 2 の結果が一致することは、二項定理 ${\sum }_{k=0}^4\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{k}\right)3^k=(1+3{)}^4$ とも対応している。

答えは $256$ である。

$|S|=k$ のとき、$S$ の選び方は $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{k}\right)$ 通り、$S$ から $B$ への写像は $3^k$ 個である（$k=0$ のときは空写像 1 個で $3^0=1$ と一致）。よって
$$|P|=\sum _{k=0}^4\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{k}\right)3^k=(1+3{)}^4=256.$$
検算: $k=0$: $1$、$k=1$: $4\cdot 3=12$、$k=2$: $6\cdot 9=54$、$k=3$: $4\cdot 27=108$、$k=4$: $81$。合計 $1+12+54+108+81=256$。別の見方として、各 $x\in A$ について「$S$ に入らない」か「入って $a,b,c$ のどれかに写る」の 4 通りがあるので $4^4=256$。$P$ は有限集合なので濃度は個数 $256$ である。