集合と位相の問題

0 以上の整数 $n$ に対して、基数 ${\beth }_n$ を次のように定める。
$${\beth }_0={\aleph }_0,{\beth }_{n+1}=2^{{\beth }_n}(n=0,1,2,\dots )$$
たとえば ${\beth }_1=2^{{\aleph }_0}=\mathfrak{c}$（実数全体の集合 $\mathbb{R}$ の濃度）である。

実数全体の集合 $\mathbb{R}$ から $\mathbb{R}$ への写像全体の集合を ${\mathbb{R}}^{\mathbb{R}}$ とする。${\mathbb{R}}^{\mathbb{R}}$ の濃度が ${\beth }_n$ に等しくなるような 0 以上の整数 $n$ を求めよ。

${\mathbb{Z}}_{>0}$ を正の整数全体の集合、$\mathcal{P}({\mathbb{Z}}_{>0})$ をそのべき集合とする。写像 $f:{\mathbb{Z}}_{>0}\to \mathcal{P}({\mathbb{Z}}_{>0})$ を
$$f(n)=\{k\in {\mathbb{Z}}_{>0}\mid k\le (n-3{)}^2\}$$
で定める（たとえば $f(3)=\varnothing$ である）。カントールの対角線論法で用いる集合
$$D=\{n\in {\mathbb{Z}}_{>0}\mid n\notin f(n)\}$$
を求めよ。

${\mathbb{Z}}_{>0}$ を正の整数全体の集合、$\mathcal{P}({\mathbb{Z}}_{>0})$ をそのべき集合とする。写像 $f:{\mathbb{Z}}_{>0}\to \mathcal{P}({\mathbb{Z}}_{>0})$ を
$$f(n)=\{k\in {\mathbb{Z}}_{>0}\mid (n-6)k+8>0\}$$
で定める。カントールの対角線論法にならって、集合
$$D=\{n\in {\mathbb{Z}}_{>0}\mid n\notin f(n)\}$$
を考える。この $D$ はどの正の整数 $m$ に対しても $f(m)$ と一致しないので、$f$ は全射ではない。集合 $D$ を求めよ。

${\mathbb{Z}}_{>0}$ を正の整数全体の集合とする。直積 ${\mathbb{Z}}_{>0}\times {\mathbb{Z}}_{>0}$ の濃度が ${\aleph }_0$ であることを示すために、その元 $(m,n)$ を次の規則で一列に並べる。

• $m+n$ の値が小さいものから順に並べる。
• $m+n$ の値が等しいものどうしは、$m$ の値が小さいものから順に並べる。

こうして得られる列は
$$(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4),\dots$$
となる。この列の $k$ 番目の元を $\phi (k)$ とおくと、$\phi :{\mathbb{Z}}_{>0}\to {\mathbb{Z}}_{>0}\times {\mathbb{Z}}_{>0}$ は全単射になる。$\phi (k)=(3,5)$ となる正の整数 $k$ を求めよ。

各正の整数 $n$ に対して、$0$ と $1$ からなる無限列 $s_n=(s_n(1),s_n(2),s_n(3),\dots )\in \{0,1{\}}^{{\mathbb{Z}}_{>0}}$ を
$$s_n(k)=\{\begin{array}{ll}1& (n+k\text{が}3\text{の倍数のとき})\\ 0& (\text{それ以外のとき})\end{array}(k\text{は正の整数})$$
で定める。カントールの対角線論法にならい、列 $d=(d(1),d(2),d(3),\dots )$ を
$$d(n)=1-s_n(n)(n\text{は正の整数})$$
で定める。このとき $d\in \{0,1{\}}^{{\mathbb{Z}}_{>0}}$ であり、各 $n$ について $d$ は $n$ 番目の項で $s_n$ と異なるので、$d$ はどの $s_n$ とも一致しない。

和 $d(1)+d(2)+\cdots +d(30)$ の値を求めよ。