集合と位相の問題

方針（対角線論法） カントールの定理 $|X|<|\mathcal{P}(X)|$ の証明では、写像 $f:X\to \mathcal{P}(X)$ が与えられたとき、「$n$ 番目の集合 $f(n)$ に自分自身 $n$ が入っているか」という対角線上の情報を見て、それを反転させた集合 $D=\{n\mid n\notin f(n)\}$ を作る。ここではこの $D$ を具体的に求める。

手順1：$n\in f(n)$ となる条件を式にする。 定義から
$$n\in f(n)⟺n\le (n-3{)}^2.$$
したがって $n\in D⟺n>(n-3{)}^2$ である。

手順2：小さい $n$ から順に調べる。
- $n=1$：$(1-3{)}^2=4$。$1\le 4$ なので $1\in f(1)$、よって $1\notin D$。
- $n=2$：$(2-3{)}^2=1$。$2>1$ なので $2\notin f(2)$、よって $2\in D$。
- $n=3$：$(3-3{)}^2=0$。$f(3)=\varnothing$ なので $3\in D$。
- $n=4$：$(4-3{)}^2=1$。$4>1$ なので $4\in D$。
- $n=5$：$(5-3{)}^2=4$。$5>4$ なので $5\in D$。
- $n=6$：$(6-3{)}^2=9$。$6\le 9$ なので $6\notin D$。

手順3：$n\ge 6$ をまとめて調べる。 $n\ge 6$ のとき $n-3\ge 3$ だから
$$(n-3{)}^2-n=n^2-7n+9=n(n-7)+9.$$
$n=6$ では $-6+9=3>0$、$n\ge 7$ では $n(n-7)\ge 0$ より $9>0$。よって $n\ge 6$ ではつねに $n<(n-3{)}^2$、すなわち $n\in f(n)$ で $n\notin D$。

以上より $D=\{2,3,4,5\}$。

確認（$D$ が $f$ の像にないこと） もし $D=f(m)$ となる $m$ があれば、$m\in D⟺m\notin f(m)=D$ となり矛盾する。実際、たとえば $f(1)=f(5)=\{1,2,3,4\}$ は $5\in D$ を含まず、$f(2)=f(4)=\{1\}$ は $2\in D$ を含まず、$f(3)=\varnothing$ は $3\in D$ を含まず、$n\ge 6$ では $f(n)$ は $n\notin D$ を含むので、どれも $D$ と一致しない。こうして $f$ は全射でないことがわかる。

$n\notin f(n)$ は $n>(n-3{)}^2$ と同値である（$n$ は正の整数で、$f(n)$ は $1$ 以上 $(n-3{)}^2$ 以下の整数の集合だから）。
$n^2-7n+9<0$ を解くと $\frac{7-\sqrt{13}}{2}<n<\frac{7+\sqrt{13}}{2}$、すなわち約 $1.70<n<5.30$ なので、正の整数 $n$ は $2,3,4,5$。
検算：
- $n=1$: $(n-3{)}^2=4$ で $1\le 4$ なので $1\in f(1)$。
- $n=2$: $(n-3{)}^2=1$ で $2>1$ なので $2\notin f(2)$。
- $n=3$: $(n-3{)}^2=0$ で $3\notin f(3)=\varnothing$。
- $n=4$: $(n-3{)}^2=1$ で $4>1$ なので $4\notin f(4)$。
- $n=5$: $(n-3{)}^2=4$ で $5>4$ なので $5\notin f(5)$。
- $n=6$: $(n-3{)}^2=9$ で $6\le 9$ なので $6\in f(6)$。
- $n\ge 6$ では $(n-3{)}^2\ge n$ が成り立つので、$n\in f(n)$。
よって $D=\{2,3,4,5\}$。