集合と位相の問題

方針（対角線論法） 対角線論法では、各 $n$ について「$n$ 番目の集合 $f(n)$ が $n$ 自身を含むかどうか」だけを調べ、その逆を選んで集合 $D$ を作ります。つまり $f(n)$ の条件式の $k$ に $n$ 自身を代入すればよいです。

手順 1：対角成分を調べる $n\in f(n)$ となる条件は、$k=n$ を代入して
$$(n-6)n+8>0⟺n^2-6n+8>0⟺(n-2)(n-4)>0$$
です。これは $n<2$ または $n>4$ のときに成り立ちます。

手順 2：逆を選ぶ $D$ は $n\notin f(n)$ となる $n$ 全体なので、$(n-2)(n-4)\le 0$、すなわち $2\le n\le 4$ となる正の整数 $n$ 全体です。よって
$$D=\{2,3,4\}.$$
実際に確かめると、$n=1$ では $(1-6)\cdot 1+8=3>0$ で $1\in f(1)$、$n=2$ では $-4\cdot 2+8=0$ で $2\notin f(2)$、$n=3$ では $-3\cdot 3+8=-1$ で $3\notin f(3)$、$n=4$ では $-2\cdot 4+8=0$ で $4\notin f(4)$、$n=5$ では $-1\cdot 5+8=3>0$ で $5\in f(5)$ です。$n\ge 6$ では $(n-6)n\ge 0$ より $(n-6)n+8\ge 8>0$ なので $n\in f(n)$ です。

手順 3：なぜ $D$ は $f$ の像に入らないか もし $D=f(m)$ となる $m$ があったとすると、$m\in D⟺m\notin f(m)=D$ となって矛盾します。具体的には、$D$ と $f(m)$ は要素 $m$ の有無で必ず食い違います。例えば $f(2)=\{k\mid -4k+8>0\}=\{1\}$ は $2$ を含みませんが、$D$ は $2$ を含みます。$f(5)=\{k\mid -k+8>0\}=\{1,\dots ,7\}$ は $5$ を含みますが、$D$ は $5$ を含みません。

補足：濃度の大小について この議論は任意の写像 ${\mathbb{Z}}_{>0}\to \mathcal{P}({\mathbb{Z}}_{>0})$ に対して使えるので、${\mathbb{Z}}_{>0}$ から $\mathcal{P}({\mathbb{Z}}_{>0})$ への全射は存在せず、特に全単射も存在しません。一方、写像 $n\mapsto \{n\}$ は単射なので $|{\mathbb{Z}}_{>0}|\le |\mathcal{P}({\mathbb{Z}}_{>0})|$ です。この 2 つを合わせて $|{\mathbb{Z}}_{>0}|<|\mathcal{P}({\mathbb{Z}}_{>0})|$ がわかります。

答え：$D=\{2,3,4\}$

$n\notin f(n)$ となる条件は、$k=n$ を代入して $(n-6)n+8>0$ が成り立たないこと、すなわち $n^2-6n+8\le 0$ である。これは $(n-2)(n-4)\le 0$ と変形でき、$2\le n\le 4$ となる。$n$ は正の整数なので $n=2,3,4$。
検算：
- $n=1$: $(1-6)\cdot 1+8=3>0$ なので $1\in f(1)$。
- $n=2$: $-8+8=0$ で正でないので $2\notin f(2)$。
- $n=3$: $-9+8=-1$ なので $3\notin f(3)$。
- $n=4$: $-8+8=0$ なので $4\notin f(4)$。
- $n=5$: $-5+8=3>0$ なので $5\in f(5)$。
- $n\ge 6$: $(n-6)n+8\ge 8>0$ なので $n\in f(n)$。
よって $D=\{2,3,4\}$。