集合と位相の問題

正の実数全体の集合を $X=\{x\in \mathbb{R}\mid x>0\}$ とし、関数 $d:X\times X\to \mathbb{R}$ を
$$d(x,y)=\left|\frac{1}{x}-\frac{1}{y}\right|$$
で定める。$d$ は $X$ 上の距離である。この距離に関する、中心 $1$、半径 $\frac{1}{2}$ の開球
$$B\left(1,\frac{1}{2}\right)=\left\{x\in X|d(x,1)<\frac{1}{2}\right\}$$
を区間で表せ。

平面 ${\mathbb{R}}^2$ 上の 2 点 $P=(x_1,y_1)$, $Q=(x_2,y_2)$ に対して
$$d(P,Q)=|x_1-x_2|+2|y_1-y_2|$$
と定めると、$d$ は ${\mathbb{R}}^2$ 上の距離になる。この距離 $d$ に関する点 $A=(1,-1)$ を中心とする半径 $4$ の開球
$$B(A,4)=\{P\in {\mathbb{R}}^2\mid d(P,A)<4\}$$
は、座標平面上のある図形になる。この図形の面積を求めよ。

実数全体の集合 $\mathbb{R}$ 上の関数 $d:\mathbb{R}\times \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ を
$$d(x,y)=\left|\arctan x-\arctan y\right|(x,y\in \mathbb{R})$$
で定めると、$(\mathbb{R},d)$ は距離空間になる。ここで $\arctan$ は値域を $\left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$ とする逆正接関数である。

この距離空間における、中心 $\sqrt{3}$、半径 $\frac{5\pi }{12}$ の開球
$$B\left(\sqrt{3},\frac{5\pi }{12}\right)=\left\{x\in \mathbb{R}|d\left(x,\sqrt{3}\right)<\frac{5\pi }{12}\right\}$$
を、$\mathbb{R}$ の区間として求めよ。

実数全体の集合 $\mathbb{R}$ に、通常のユークリッド距離 $d(x,y)=|x-y|$ による位相を入れる。$\mathbb{R}$ の部分集合
$$A=\{x\in \mathbb{R}\mid 1\leqq |x-2|<3\}$$
について、境界 $\partial A=\overline{A}\setminus A^{\circ }$ を求めよ。

実数全体の集合 $\mathbb{R}$ に、距離
$$d(x,y)=|\arctan x-\arctan y|$$
を入れた距離空間 $(\mathbb{R},d)$ を考える。ここで $\arctan$ は値を $\left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$ にとる逆正接関数である。部分集合
$$A=\{x\in \mathbb{R}\mid x\geqq -1\}$$
の直径
$$\mathrm{diam}A=\sup \{d(p,q)\mid p,q\in A\}$$
を求めよ。