集合と位相の問題

実数全体の集合 $\mathbb{R}$ 上の関数 $d:\mathbb{R}\times \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ を
$$d(x,y)=\left|x^3-y^3\right|$$
で定めると、$d$ は $\mathbb{R}$ 上の距離になる。この距離 $d$ に関する開球
$$B(1,7)=\{x\in \mathbb{R}\mid d(x,1)<7\}$$
を区間で表せ。

実数全体の集合 $\mathbb{R}$ 上の関数 $d:\mathbb{R}\times \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ を
$$d(x,y)=\left|\arctan x-\arctan y\right|(x,y\in \mathbb{R})$$
で定めると、$(\mathbb{R},d)$ は距離空間になる。ここで $\arctan$ は値域を $\left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$ とする逆正接関数である。

この距離空間における、中心 $\sqrt{3}$、半径 $\frac{5\pi }{12}$ の開球
$$B\left(\sqrt{3},\frac{5\pi }{12}\right)=\left\{x\in \mathbb{R}|d\left(x,\sqrt{3}\right)<\frac{5\pi }{12}\right\}$$
を、$\mathbb{R}$ の区間として求めよ。

通常の距離 $d(x,y)=|x-y|$ による位相を入れた実数直線 $\mathbb{R}$ の、次の 6 つの部分集合を考える。
$$A_1=[-1,2]\cup \{3\},A_2=(0,1],A_3=\{x\in \mathbb{R}\mid x^2-3x+2\leqq 0\},$$
$$A_4=\left\{\frac{1}{n}|n\text{ は正の整数}\right\},A_5=\{0\}\cup \left\{\frac{1}{n}|n\text{ は正の整数}\right\},A_6=\mathbb{Z}(\text{整数全体}).$$
このうち、コンパクトであるものの個数を求めよ。

実数全体 $\mathbb{R}$ に通常の距離 $d(x,y)=|x-y|$ による位相を入れる。$\mathbb{R}$ の次の 6 つの部分集合のうち、コンパクトであるものの番号 $k$ をすべて求め、集合として答えよ。

$$A_1=[0,1]\cup \{2\},A_2=(0,1],A_3=\left\{\frac{1}{n}|n\text{ は正の整数}\right\},$$
$$A_4=\{0\}\cup \left\{\frac{1}{n}|n\text{ は正の整数}\right\},A_5=\{x\in \mathbb{R}\mid \sin x=0\},A_6=\{x\in \mathbb{R}\mid x^2-3x+2\leqq 0\}.$$

通常の距離 $d(x,y)=|x-y|$ による位相を入れた実数直線 $\mathbb{R}$ の部分集合として、次の $5$ つを考える。

$$A_1=[0,1]\cup \{2\},A_2=\{x\in \mathbb{R}\mid x^2-3x+2<0\},$$
$$A_3=\{0\}\cup \left\{\frac{1}{n}|n\text{ は正の整数}\right\},A_4=\{x\in \mathbb{R}\mid x^3-x\geqq 0\},$$
$$A_5=\{x\in \mathbb{R}\mid |2x-1|\leqq 3\}.$$

このうち、コンパクトであるものの番号 $k$（$A_k$ の添字）をすべて求めよ。