集合と位相の問題

対角線論法の考え方：列の列 $s_1,s_2,s_3,\dots$ を表のように並べ、$n$ 行目 $n$ 列目の成分（対角成分）$s_n(n)$ だけを取り出して、それを $0\leftrightarrow 1$ と反転させた列 $d$ を作ります。すると $d(n)\ne s_n(n)$ なので、$d$ は $n$ 番目の項で $s_n$ と異なり、どの $s_n$ とも一致しません。これにより、写像 $n\mapsto s_n$ は $\{0,1{\}}^{{\mathbb{Z}}_{>0}}$ への全射ではないことがわかります（$\{0,1{\}}^{{\mathbb{Z}}_{>0}}$ が非可算であることの証明の核心）。

ステップ 1：対角成分を求める。
$s_n(n)$ は定義で $k=n$ とした値なので、
$$s_n(n)=1⟺n+n=2n\text{が}3\text{の倍数}.$$
$2$ と $3$ は互いに素なので、$2n$ が $3$ の倍数であることと $n$ が $3$ の倍数であることは同値です。よって
$$s_n(n)=\{\begin{array}{ll}1& (n\text{が}3\text{の倍数})\\ 0& (\text{それ以外})\end{array}.$$

ステップ 2：反転して $d$ を求める。
$d(n)=1-s_n(n)$ なので
$$d(n)=\{\begin{array}{ll}0& (n\text{が}3\text{の倍数})\\ 1& (\text{それ以外})\end{array}.$$
たとえば $d=(1,1,0,1,1,0,\dots )$ です。

ステップ 3：和を数える。
$d(1)+\cdots +d(30)$ は、$1$ 以上 $30$ 以下の整数のうち $3$ の倍数でないものの個数です。$3$ の倍数は $3,6,\dots ,30$ の $10$ 個なので、
$$d(1)+d(2)+\cdots +d(30)=30-10=20.$$

答え：$20$

$s_n(n)=1$ となるのは $n+n=2n$ が 3 の倍数のとき、すなわち $n$ が 3 の倍数のときである。したがって $d(n)=1-s_n(n)$ は、$n$ が 3 の倍数なら $0$、そうでなければ $1$ となる。
$1\le n\le 30$ のうち 3 の倍数は $10$ 個なので、$d(n)=1$ となる $n$ は $30-10=20$ 個。
よって和は $20$。
検算: $n=1$ のとき $s_1(1)$ は $2$ が 3 の倍数かを見るので $0$ となり、$d(1)=1$。$n=3$ のとき $6$ は 3 の倍数なので $s_3(3)=1$、$d(3)=0$。いずれも上の結論と合う。