集合と位相の問題

$\mathbb{R}$ を実数全体の集合、${\aleph }_0$ を正の整数全体の集合の濃度とする。基数の列 ${\kappa }_0,{\kappa }_1,{\kappa }_2,\dots$ を
$${\kappa }_0={\aleph }_0,{\kappa }_{n+1}=2^{{\kappa }_n}(n=0,1,2,\dots )$$
で定める。カントールの定理により ${\kappa }_0<{\kappa }_1<{\kappa }_2<\cdots$ である。

写像 $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ 全体の集合を $F$ とする。$F$ の濃度が ${\kappa }_n$ に等しくなるような 0 以上の整数 $n$ を求めよ。

${\mathbb{Z}}_{>0}$ を正の整数全体の集合とする。直積 ${\mathbb{Z}}_{>0}\times {\mathbb{Z}}_{>0}$ の濃度が ${\aleph }_0$ であることを示すために、その元 $(m,n)$ を次の規則で一列に並べる。

• $m+n$ の値が小さいものから順に並べる。
• $m+n$ の値が等しいものどうしは、$m$ の値が小さいものから順に並べる。

こうして得られる列は
$$(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4),\dots$$
となる。この列の $k$ 番目の元を $\phi (k)$ とおくと、$\phi :{\mathbb{Z}}_{>0}\to {\mathbb{Z}}_{>0}\times {\mathbb{Z}}_{>0}$ は全単射になる。$\phi (k)=(3,5)$ となる正の整数 $k$ を求めよ。

${\mathbb{Z}}_{>0}$ を正の整数全体の集合、$\mathcal{P}({\mathbb{Z}}_{>0})$ をそのべき集合とする。写像 $f:{\mathbb{Z}}_{>0}\to \mathcal{P}({\mathbb{Z}}_{>0})$ を
$$f(n)=\{k\in {\mathbb{Z}}_{>0}\mid k\le (n-3{)}^2\}$$
で定める（たとえば $f(3)=\varnothing$ である）。カントールの対角線論法で用いる集合
$$D=\{n\in {\mathbb{Z}}_{>0}\mid n\notin f(n)\}$$
を求めよ。

実数全体の集合を $\mathbb{R}$ とし、その濃度を $\mathfrak{c}=2^{{\aleph }_0}$ とする。$\mathbb{R}$ から $\mathbb{R}$ への連続関数全体の集合を
$$C=\{f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\mid f\text{ は連続}\}$$
とする。$C$ の濃度を求めよ。答えは ${\aleph }_0$ と $2$ を使った記号（$2^{{\aleph }_0}$、$2^{2^{{\aleph }_0}}$ など）で答えよ。

${\mathbb{Z}}_{>0}$ を正の整数全体の集合、$\mathcal{P}({\mathbb{Z}}_{>0})$ をそのべき集合とする。写像 $f:{\mathbb{Z}}_{>0}\to \mathcal{P}({\mathbb{Z}}_{>0})$ を
$$f(n)=\{k\in {\mathbb{Z}}_{>0}\mid (n-6)k+8>0\}$$
で定める。カントールの対角線論法にならって、集合
$$D=\{n\in {\mathbb{Z}}_{>0}\mid n\notin f(n)\}$$
を考える。この $D$ はどの正の整数 $m$ に対しても $f(m)$ と一致しないので、$f$ は全射ではない。集合 $D$ を求めよ。