極限の問題

$p(x)=x^3+a{x}^2+bx+c$ とおく。$p(x)$ は多項式なので連続である。

連続性の条件

$[x]$ は $0\le x<1$ で $0$、$1\le x<2$ で $1$、$2\le x<3$ で $2$、$x=3$ で $3$ である。よって各区間の内部では $f(x)$ は定数と $p(x)$ の積で連続であり、問題になるのは $x=1,2,3$ だけである。

• $x=1$: $\underset{x\to 1-0}{\lim }f(x)=0\cdot p(1)=0$、$f(1)=1\cdot p(1)=p(1)$。連続であるためには $p(1)=0$。
• $x=2$: $\underset{x\to 2-0}{\lim }f(x)=1\cdot p(2)$、$f(2)=2p(2)$。$p(2)=2p(2)$ より $p(2)=0$。
• $x=3$（右端なので左側からの連続性）: $\underset{x\to 3-0}{\lim }f(x)=2p(3)$、$f(3)=3p(3)$。よって $p(3)=0$。

逆にこれらが成り立てば $f(x)$ は $0\le x\le 3$ で連続である。$p(x)$ は $x^3$ の係数が $1$ の 3 次式で $1,2,3$ を解にもつので
$$p(x)=(x-1)(x-2)(x-3)=x^3-6x^2+11x-6$$

最小値を求める

• $0\le x<1$ のとき $f(x)=0$。
• $1\le x<2$ のとき $f(x)=p(x)=(x-1)(x-2)(x-3)$。$x-1\ge 0,x-2<0,x-3<0$ より $f(x)\ge 0$。
• $2\le x<3$ のとき $f(x)=2p(x)$。$x-1>0,x-2\ge 0,x-3<0$ より $f(x)\le 0$。
• $x=3$ のとき $f(3)=3p(3)=0$。

よって最小値は $2\le x\le 3$ における $2p(x)$ の最小値である。
$$p^{\prime }(x)=3x^2-12x+11=0⟹x=2\pm \frac{1}{\sqrt{3}}=2\pm \frac{\sqrt{3}}{3}$$
$2\le x\le 3$ にあるのは $x=2+\frac{\sqrt{3}}{3}$ で、$p^{\prime }(x)$ はこの点の前後で負から正に変わるので、ここで極小かつ最小となる（両端では $p(2)=p(3)=0$）。
$$p\left(2+\frac{\sqrt{3}}{3}\right)=\left(1+\frac{\sqrt{3}}{3}\right)\cdot \frac{\sqrt{3}}{3}\cdot \left(-1+\frac{\sqrt{3}}{3}\right)=\frac{\sqrt{3}}{3}\left(\frac{1}{3}-1\right)=-\frac{2\sqrt{3}}{9}$$
したがって最小値は
$$2\cdot \left(-\frac{2\sqrt{3}}{9}\right)=-\frac{4\sqrt{3}}{9}$$

$g(x)=x^3+a{x}^2+bx+c$ とおく。$[x]$ は $0\le x<1$ で $0$、$1\le x<2$ で $1$、$2\le x<3$ で $2$、$x=3$ で $3$。

$x=1$ での連続性: 左極限 $0\cdot g(1)=0$、$f(1)=g(1)$ より $g(1)=0$。
$x=2$: 左極限 $g(2)$、$f(2)=2g(2)$ より $g(2)=0$。
$x=3$: 左極限 $2g(3)$、$f(3)=3g(3)$ より $g(3)=0$。

よって $g(x)=(x-1)(x-2)(x-3)=x^3-6x^2+11x-6$（$a=-6,b=11,c=-6$）。

各区間での $f$:
- $0\le x<1$: $f=0$
- $1\le x<2$: $f=g(x)$。$1<x<2$ では $(x-1)>0,(x-2)<0,(x-3)<0$ で $g>0$。端点は $0$。
- $2\le x<3$: $f=2g(x)$。$2<x<3$ では $g<0$。
- $x=3$: $f=0$。

最小値は $2\le x<3$ での $2g(x)$ の最小。$t=x-2$ とおくと $g=(t+1)t(t-1)=t^3-t$（$0\le t<1$）。$g^{\prime }=3t^2-1=0$ より $t=\frac{1}{\sqrt{3}}$ で最小、$g=\frac{1}{3\sqrt{3}}-\frac{1}{\sqrt{3}}=-\frac{2}{3\sqrt{3}}$。
$f=2g=-\frac{4}{3\sqrt{3}}=-\frac{4\sqrt{3}}{9}$。

検算: $x=2.5$ で $g=1.5\cdot 0.5\cdot (-0.5)=-0.375$、$f=-0.75$。$-\frac{4\sqrt{3}}{9}\approx -0.7698$ でこれより小さい。$x=2.577$ 付近で最小。