極限の問題

$x$ の値によって $x^{2n}$ の極限が変わるので、場合を分けて $f(x)$ を求める。

(i) $|x|<1$ のとき

${\lim }_{n\to \infty }{x}^{2n}=0$ であり、$x^{2n+1}=x\cdot x^{2n}$ も $0$ に収束する。よって
$$f(x)=a{x}^2+bx+3$$

(ii) $|x|>1$ のとき

分子・分母を $x^{2n}$ で割る。${\lim }_{n\to \infty }\frac{1}{x^{2n}}=0$ であるから
$$f(x)=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{2x+\frac{a{x}^2+bx+3}{x^{2n}}}{1+\frac{1}{x^{2n}}}=2x$$

(iii) $x=1$ のとき

$x^{2n}=1$, $x^{2n+1}=1$ であるから
$$f(1)=\frac{2+a+b+3}{2}=\frac{a+b+5}{2}$$

(iv) $x=-1$ のとき

$x^{2n}=1$, $x^{2n+1}=-1$ であるから
$$f(-1)=\frac{-2+a-b+3}{2}=\frac{a-b+1}{2}$$

$|x|<1$ と $|x|>1$ の各範囲では $f(x)$ は多項式なので連続である。したがって、$f(x)$ がすべての実数で連続であるための条件は、$x=1$ と $x=-1$ で連続であることである。

$x=1$ での連続性

$$\underset{x\to 1-0}{\lim }f(x)=a+b+3,\underset{x\to 1+0}{\lim }f(x)=2$$
である。これらと $f(1)$ がすべて等しければよい。$a+b+3=2$ より
$$a+b=-1(1)$$
このとき $f(1)=\frac{-1+5}{2}=2$ となり、条件をみたす。

$x=-1$ での連続性

$$\underset{x\to -1-0}{\lim }f(x)=2\cdot (-1)=-2,\underset{x\to -1+0}{\lim }f(x)=a-b+3$$
である。$a-b+3=-2$ より
$$a-b=-5(2)$$
このとき $f(-1)=\frac{-5+1}{2}=-2$ となり、条件をみたす。

$(1)$, $(2)$ を連立して解くと $a=-3,b=2$ である。

$\frac{1}{2}$ は $|x|<1$ の範囲にあるので、$f(x)=-3x^2+2x+3$ を用いて
$$f\left(\frac{1}{2}\right)=-\frac{3}{4}+1+3=\frac{13}{4}$$

$|x|<1$ のとき $x^{2n}\to 0$ なので $f(x)=a{x}^2+bx+3$。
$|x|>1$ のとき、分母分子を $x^{2n}$ で割ると $f(x)=2x$。
$x=1$ のとき $f(1)=\frac{2+a+b+3}{2}=\frac{a+b+5}{2}$。
$x=-1$ のとき $f(-1)=\frac{-2+a-b+3}{2}=\frac{a-b+1}{2}$。

$x=1$ での連続性：左側極限 $a+b+3$、右側極限 $2$ より $a+b=-1$。このとき $f(1)=2$ で一致する。
$x=-1$ での連続性：左側極限 $-2$、右側極限 $a-b+3$ より $a-b=-5$。このとき $f(-1)=-2$ で一致する。

これを解くと $a=-3,b=2$。
$f\left(\frac{1}{2}\right)=-3\cdot \frac{1}{4}+2\cdot \frac{1}{2}+3=-\frac{3}{4}+1+3=\frac{13}{4}$。

検算：$f(x)=-3x^2+2x+3$ に $x=1$ を代入すると $2$、$x=-1$ を代入すると $-2$ で、$2x$ の値と一致する。