極限の問題

$x$ の範囲で場合分けして $f(x)$ を求める。

(i) $|x|<1$ のとき、${\lim }_{n\to \infty }{x}^{2n}=0$ であり、${\lim }_{n\to \infty }{x}^{2n+1}=0$ である。よって
$$f(x)=a{x}^2+bx+3$$

(ii) $|x|>1$ のとき、分母・分子を $x^{2n}$ で割ると
$$\frac{x+\frac{a{x}^2+bx+3}{x^{2n}}}{1+\frac{1}{x^{2n}}}$$
となる。${\lim }_{n\to \infty }\frac{1}{x^{2n}}=0$ であるから
$$f(x)=x$$

(iii) $x=1$ のとき、$x^{2n+1}=x^{2n}=1$ であるから
$$f(1)=\frac{1+a+b+3}{2}=\frac{a+b+4}{2}$$

(iv) $x=-1$ のとき、$x^{2n+1}=-1,x^{2n}=1$ であるから
$$f(-1)=\frac{-1+a-b+3}{2}=\frac{a-b+2}{2}$$

$|x|<1$ および $|x|>1$ の各範囲では $f(x)$ は多項式で表されるので連続である。したがって、$x=1$ と $x=-1$ で連続であればよい。

$x=1$ について、${\lim }_{x\to 1-0}f(x)=a+b+3$、${\lim }_{x\to 1+0}f(x)=1$ である。連続であるためには、これらと $f(1)$ がすべて等しいことが必要十分である。
$$a+b+3=1=\frac{a+b+4}{2}$$
どちらの等式も $a+b=-2$ と同値である。

$x=-1$ について、${\lim }_{x\to -1+0}f(x)=a-b+3$、${\lim }_{x\to -1-0}f(x)=-1$ である。連続であるための条件は
$$a-b+3=-1=\frac{a-b+2}{2}$$
どちらの等式も $a-b=-4$ と同値である。

$a+b=-2,a-b=-4$ を連立して解くと $a=-3,b=1$ である。

このとき $-1<x<1$ では
$$f(x)=-3x^2+x+3=-3{\left(x-\frac{1}{6}\right)}^2+\frac{37}{12}$$
である。また $f(1)=1,f(-1)=-1$ であり、これは $-3x^2+x+3$ に $x=\pm 1$ を代入した値と一致する。よって区間 $-1\le x\le 1$ で $f(x)=-3x^2+x+3$ である。

軸 $x=\frac{1}{6}$ はこの区間内にあるので、最大値は
$$f\left(\frac{1}{6}\right)=\frac{37}{12}$$
である。

$|x|<1$ のとき $x^{2n}\to 0$, $x^{2n+1}\to 0$ なので $f(x)=a{x}^2+bx+3$。
$|x|>1$ のとき分子分母を $x^{2n}$ で割ると $f(x)=x$。
$x=1$ のとき $f(1)=\frac{1+a+b+3}{2}=\frac{a+b+4}{2}$。
$x=-1$ のとき $f(-1)=\frac{-1+a-b+3}{2}=\frac{a-b+2}{2}$。

$x=1$ で連続: 左側極限 $a+b+3$、右側極限 $1$、$f(1)=\frac{a+b+4}{2}$ なので $a+b+3=1$ より $a+b=-2$。このとき $f(1)=1$ で一致する。
$x=-1$ で連続: 左側極限 $-1$、右側極限 $a-b+3$ なので $a-b=-4$。このとき $f(-1)=-1$ で一致する。

よって $a=-3,b=1$。
$-1\le x\le 1$ では $f(-1)=-1$, $f(1)=1$ であり、$-1<x<1$ では $f(x)=-3x^2+x+3=-3{\left(x-\frac{1}{6}\right)}^2+\frac{37}{12}$。
$x=\frac{1}{6}$ は区間内なので最大値は $\frac{37}{12}$。
検算: $f(1/6)=-3/36+1/6+3=-1/12+2/12+3=37/12$。