極限の問題

$x$ の値の範囲で場合分けして、$f(x)$ を求める。

(i) $|x|<1$ のとき
${\lim }_{n\to \infty }{x}^{2n}=0$、${\lim }_{n\to \infty }{x}^{2n+1}=0$ であるから
$$f(x)=\frac{0+0+x^3+a^2{x}^2}{0+1}=x^3+a^2{x}^2$$

(ii) $|x|>1$ のとき
分母・分子を $x^{2n}$ で割る。${\lim }_{n\to \infty }\frac{1}{x^{2n}}=0$ であるから
$$f(x)=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{ax+1+\frac{x^3+a^2{x}^2}{x^{2n}}}{1+\frac{1}{x^{2n}}}=ax+1$$

(iii) $x=1$ のとき
$x^{2n}=1$、$x^{2n+1}=1$ であるから
$$f(1)=\frac{a+1+1+a^2}{2}=\frac{a^2+a+2}{2}$$

(iv) $x=-1$ のとき
$x^{2n}=1$、$x^{2n+1}=-1$ であるから
$$f(-1)=\frac{-a+1-1+a^2}{2}=\frac{a^2-a}{2}$$

$|x|<1$ では多項式 $x^3+a^2{x}^2$、$|x|>1$ では多項式 $ax+1$ に等しいので、$f(x)$ は $x\ne \pm 1$ では連続である。したがって、$x=1$ と $x=-1$ で連続となる条件を調べればよい。

$x=1$ での連続性
$$\underset{x\to 1-0}{\lim }f(x)=1+a^2,\underset{x\to 1+0}{\lim }f(x)=a+1$$
連続であるためには、まず左側極限と右側極限が一致することが必要で、$1+a^2=a+1$、すなわち $a(a-1)=0$ より $a=0,1$ である。このとき $f(1)=\frac{(a^2+1)+(a+1)}{2}$ はこの共通の極限値に等しくなるので、$x=1$ で連続である。

$x=-1$ での連続性
$$\underset{x\to -1+0}{\lim }f(x)=-1+a^2,\underset{x\to -1-0}{\lim }f(x)=-a+1$$
同様に $a^2-1=-a+1$、すなわち $a^2+a-2=0$、$(a-1)(a+2)=0$ より $a=1,-2$ である。このとき $f(-1)=\frac{(a^2-1)+(-a+1)}{2}$ も共通の極限値に等しくなるので、$x=-1$ で連続である。

両方を満たすのは $a=1$ である。

確認: $a=1$ のとき、$|x|<1$ で $f(x)=x^3+x^2$、$|x|>1$ で $f(x)=x+1$ である。また $f(1)=2$、$f(-1)=0$ であり、$x=1$ で左右の極限はともに $2$、$x=-1$ で左右の極限はともに $0$ となるので、$f(x)$ はすべての実数で連続である。

よって $a=1$。

$f(x)$ を $|x|$ の大きさで場合分けして求める。

• $|x|<1$ のとき、$x^{2n}\to 0$ より $f(x)=x^3+a^2{x}^2$。
• $|x|>1$ のとき、分子・分母を $x^{2n}$ で割ると $\frac{ax+1+(x^3+a^2{x}^2)/x^{2n}}{1+1/x^{2n}}$ となる。$n\to \infty$ で $x^{-2n}\to 0$ なので $f(x)=ax+1$。
• $x=1$ のとき、$f(1)=\frac{a+1+1+a^2}{2}=\frac{a^2+a+2}{2}$。
• $x=-1$ のとき、$f(-1)=\frac{-a+1-1+a^2}{2}=\frac{a^2-a}{2}$。

$|x|\ne 1$ では、各区間で $f$ は多項式なので連続。よって $x=\pm 1$ での連続性だけを調べる。

$x=1$ について
- 左側極限は $1+a^2$、右側極限は $a+1$。
- 両者が等しい条件は $a^2=a$、すなわち $a=0,1$。
- $a=0$ のとき、$f(1)=1$ で左右の極限も 1 なので連続。
- $a=1$ のとき、$f(1)=2$ で左右の極限も 2 なので連続。

$x=-1$ について
- $x\to -1+0$ の極限は $-1+a^2$、$x\to -1-0$ の極限は $-a+1$。
- 両者が等しい条件は $a^2+a-2=0$、すなわち $a=1,-2$。
- $a=1$ のとき、$f(-1)=0$ で左右の極限も 0 なので連続。

共通の値
$x=1$ の条件 $a=0,1$ と $x=-1$ の条件 $a=1,-2$ をともに満たすのは $a=1$ のみ。

検算
$a=1$ のとき、$|x|<1$ で $f=x^3+x^2$、$|x|>1$ で $f=x+1$。$x=1$ では左 2、右 2、値 2。$x=-1$ では左 0、右 0、値 0。ともに一致する。

答え: $a=1$