極限の問題

$x^n$ の極限は $x$ の値によって変わるので、$0\leqq x<1$、$x=1$、$x>1$ の場合に分けて $f(x)$ を求める。

(i) $0\leqq x<1$ のとき

$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}^n=0$、$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}^{n+1}=0$ であるから
$$f(x)=\frac{0+ax+2}{0+1}=ax+2$$

(ii) $x=1$ のとき

$x^n=x^{n+1}=1$ であるから
$$f(1)=\frac{1+a+2}{1+1}=\frac{a+3}{2}$$

(iii) $x>1$ のとき

$x^n\to \infty$ となるので、分母・分子を $x^n$ で割る。
$$f(x)=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{x+\frac{ax+2}{x^n}}{1+\frac{1}{x^n}}$$
$\frac{1}{x}$ は $0<\frac{1}{x}<1$ を満たすので $\frac{1}{x^n}={\left(\frac{1}{x}\right)}^n\to 0$ である。よって $\frac{ax+2}{x^n}\to 0$ となり
$$f(x)=\frac{x+0}{1+0}=x$$

連続となる条件

$0\leqq x<1$ では $f(x)=ax+2$、$x>1$ では $f(x)=x$ であり、どちらも多項式なので連続である。したがって、$x=1$ で連続であればよい。

$x=1$ で連続である条件は
$$\underset{x\to 1-0}{\lim }f(x)=\underset{x\to 1+0}{\lim }f(x)=f(1)$$
である。それぞれ求めると
$$\underset{x\to 1-0}{\lim }f(x)=\underset{x\to 1-0}{\lim }(ax+2)=a+2,\underset{x\to 1+0}{\lim }f(x)=\underset{x\to 1+0}{\lim }x=1$$
よって、まず $a+2=1$ より $a=-1$ である。

このとき $f(1)=\frac{-1+3}{2}=1$ となり、左右の極限の値 $1$ と一致する。

したがって、求める値は $a=-1$ である。

$x\geqq 0$ を場合分けして $f(x)$ を求める。

(i) $0\leqq x<1$ のとき、$x^n\to 0$、$x^{n+1}\to 0$ なので $f(x)=\frac{ax+2}{1}=ax+2$。

(ii) $x=1$ のとき、$f(1)=\frac{1+a+2}{1+1}=\frac{a+3}{2}$。

(iii) $x>1$ のとき、分子分母を $x^n$ で割ると $f(x)=\frac{x+(ax+2)/x^n}{1+1/x^n}\to x$。よって $f(x)=x$。

連続性を調べる。$0\leqq x<1$ と $x>1$ ではそれぞれ連続（1次関数）なので、$x=1$ での連続性のみが問題となる。

左極限: ${\lim }_{x\to 1-0}f(x)=a+2$
右極限: ${\lim }_{x\to 1+0}f(x)=1$
関数値: $f(1)=\frac{a+3}{2}$

連続となる条件は $a+2=1=\frac{a+3}{2}$。
$a+2=1$ より $a=-1$。このとき $\frac{a+3}{2}=\frac{2}{2}=1$ で一致する。

検算: $a=-1$ のとき、$0\leqq x<1$ で $f(x)=-x+2$、$f(1)=1$、$x>1$ で $f(x)=x$。$x\to 1-0$ で $f\to 1$、$x\to 1+0$ で $f\to 1$、$f(1)=1$ となり連続。

よって $a=-1$。