極限の問題

$x^n$ の極限は $x$ の値によって変わるので、$0\leqq x<1$、$x=1$、$x>1$ の 3 つに分けて $f(x)$ を求める。

(i) $0\leqq x<1$ のとき

$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}^n=0$、$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}^{n+1}=0$ であるから
$$f(x)=\frac{0+ax+3}{0+1}=ax+3$$

(ii) $x=1$ のとき

$x^n=x^{n+1}=1$ であるから
$$f(1)=\frac{1+a+3}{1+1}=\frac{a+4}{2}$$

(iii) $x>1$ のとき

分母・分子を $x^n$ で割ると
$$\frac{x^{n+1}+ax+3}{x^n+1}=\frac{x+\frac{ax+3}{x^n}}{1+\frac{1}{x^n}}$$
$x>1$ より $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{x^n}=0$ であり、$x$ を固定すると $ax+3$ は定数なので $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{ax+3}{x^n}=0$。よって
$$f(x)=\frac{x+0}{1+0}=x$$

以上より
$$f(x)=\{\begin{array}{ll}ax+3& (0\leqq x<1)\\ \frac{a+4}{2}& (x=1)\\ x& (x>1)\end{array}$$

連続となる条件

$0\leqq x<1$ と $x>1$ では、$f(x)$ はそれぞれ 1 次式なので連続である。したがって、$x=1$ で連続であればよい。

$$\underset{x\to 1-0}{\lim }f(x)=\underset{x\to 1-0}{\lim }(ax+3)=a+3$$
$$\underset{x\to 1+0}{\lim }f(x)=\underset{x\to 1+0}{\lim }x=1$$

$x=1$ で連続となるのは、これらと $f(1)$ がすべて等しいときであるから
$$a+3=1=\frac{a+4}{2}$$
$a+3=1$ より $a=-2$。このとき $\frac{a+4}{2}=\frac{2}{2}=1$ となり、条件をすべて満たす。

よって $a=-2$

$x$ の範囲で場合分けして $f(x)$ を求める。

(i) $0\leqq x<1$ のとき: $x^n\to 0$, $x^{n+1}\to 0$ なので $f(x)=ax+3$。

(ii) $x=1$ のとき: $f(1)=\frac{1+a+3}{2}=\frac{a+4}{2}$。

(iii) $x>1$ のとき: 分子・分母を $x^n$ で割ると $f(x)={\lim }_{n\to \infty }\frac{x+(ax+3)/x^n}{1+1/x^n}=x$。

$0\leqq x<1$ と $x>1$ では $f$ は連続(1次関数)なので、$x=1$ での連続性だけを調べればよい。

左側極限は ${\lim }_{x\to 1-0}f(x)=a+3$、右側極限は ${\lim }_{x\to 1+0}f(x)=1$、関数値は $f(1)=\frac{a+4}{2}$。

連続であるためには $a+3=1=\frac{a+4}{2}$ が必要十分。$a+3=1$ より $a=-2$。このとき $\frac{a+4}{2}=\frac{2}{2}=1$ となり、3つの値がすべて一致する。

検算: $a=-2$ のとき $f(x)=-2x+3$ ($0\leqq x<1$)、$f(1)=1$、$f(x)=x$ ($x>1$)。$x=1$ でいずれも 1 になり連続である。

よって $a=-2$。