極限で定義された関数とその連続性

$f (x) = lim_{n \to \infty} \frac{2 x ^{2 n + 1} + a x ^{2} + b x + 3}{x ^{2 n} + 1}$ のような関数を $∣ x ∣ < 1$ , $∣ x ∣ > 1$ , $x = \pm 1$ で場合分けして表し、連続となる条件から定数を決定できる

前提

無限等比数列 ${r^{n}}$ の極限（数学III 極限）
関数の連続性と中間値の定理（数学III 極限）

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算数中学高校大学大学院

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無限等比数列 ${r^{n}}$ の極限（数学III 極限）
関数の極限（数学III 極限）
関数の連続性と中間値の定理（数学III 極限）

説明

$n \to \infty$ の極限を使って $f (x) = lim_{n \to \infty} \frac{2 x ^{2 n + 1} + a x ^{2} + b x + 3}{x ^{2 n} + 1}$ のように定義された関数は、 $x$ の値によって式の形が変わります。この技能では、 $∣ x ∣ < 1$ 、 $∣ x ∣ > 1$ 、 $x = 1$ 、 $x = - 1$ の 4 つに場合分けして $f (x)$ を極限を含まない式で表します。そのうえで、つなぎ目の $x = \pm 1$ で連続になる条件から、式に含まれる定数 $a, b$ を決めます。

なぜそうしてよいのか

鍵になるのは $x^{2 n} = (x^{2})^{n}$ が、公比 $x^{2}$ の無限等比数列だということです。公比 $x^{2}$ は $0$ 以上なので、 $∣ x ∣ < 1$ なら $x^{2 n} \to 0$ 、 $∣ x ∣ = 1$ なら $x^{2 n} = 1$ 、 $∣ x ∣ > 1$ なら $x^{2 n} \to \infty$ と、3 通りにきれいに分かれます。また $x^{2 n + 1} = x \cdot x^{2 n}$ なので、 $∣ x ∣ < 1$ なら $x^{2 n + 1} \to 0$ です。 $x = \pm 1$ では $x^{2 n + 1}$ はそれぞれ $1$ 、 $- 1$ という一定の値になります。 $∣ x ∣ > 1$ では分子も分母も限りなく大きくなるので、そのままでは極限がわかりません。そこで分子と分母を $x^{2 n}$ で割ります。 $\frac{1}{x ^{2 n}} = (\frac{1}{x ^{2}})^{n}$ で、 $0 < \frac{1}{x ^{2}} < 1$ だから $\frac{1}{x ^{2 n}} \to 0$ となり、極限が求まります。

こうして求めた $f (x)$ は、 $∣ x ∣ < 1$ （つまり $- 1 < x < 1$ ）と $∣ x ∣ > 1$ では多項式になるので、それぞれの範囲の内側では連続です。連続かどうかが問題になるのは、式が切り替わる $x = 1$ と $x = - 1$ だけです。 $x = 1$ で連続であるとは、左からの極限 $lim_{x \to 1 - 0} f (x)$ 、右からの極限 $lim_{x \to 1 + 0} f (x)$ 、関数の値 $f (1)$ の 3 つがすべて等しいことです。 $x = - 1$ でも同じです。この等式が $a, b$ についての方程式になるので、それを解けば定数が決まります。

手順

$x^{2 n} = (x^{2})^{n}$ の極限を場合分けで確認する： $∣ x ∣ < 1$ なら $0$ 、 $∣ x ∣ = 1$ なら $1$ 、 $∣ x ∣ > 1$ なら $\infty$ 。
$∣ x ∣ < 1$ のとき： $x^{2 n} \to 0$ 、 $x^{2 n + 1} \to 0$ を代入して $f (x)$ を求める。
$∣ x ∣ > 1$ のとき：分子と分母を $x^{2 n}$ で割り、 $\frac{1}{x ^{2 n}} \to 0$ を使って $f (x)$ を求める。
$x = 1$ と $x = - 1$ のとき： $1^{2 n} = 1$ 、 $(- 1)^{2 n} = 1$ 、 $(- 1)^{2 n + 1} = - 1$ を元の式に直接代入して、 $f (1)$ と $f (- 1)$ を求める。
$x = 1$ と $x = - 1$ のそれぞれで、左からの極限・右からの極限・関数の値が等しいという式を立て、連立方程式を解いて定数を決める。

例題

関数 $f (x) = lim_{n \to \infty} \frac{2 x ^{2 n + 1} + a x ^{2} + b x + 3}{x ^{2 n} + 1}$ が、すべての実数 $x$ で連続となるような定数 $a, b$ の値を求めよ。答えは $(a, b)$ の組で答えよ。

例題の解答

【手順1】 $x^{2 n} = (x^{2})^{n}$ は、 $∣ x ∣ < 1$ なら $0$ 、 $∣ x ∣ = 1$ なら $1$ 、 $∣ x ∣ > 1$ なら $\infty$ に向かう。

【手順2】 $∣ x ∣ < 1$ のとき、 $x^{2 n} \to 0$ 、 $x^{2 n + 1} = x \cdot x^{2 n} \to 0$ である。よって
$f (x) = \frac{0 + a x ^{2} + b x + 3}{0 + 1} = a x^{2} + b x + 3$

【手順3】 $∣ x ∣ > 1$ のとき、分子と分母を $x^{2 n}$ で割ると
$f (x) = n \to \infty lim \frac{2 x + \frac{a x ^{2} + b x + 3}{x ^{2 n}}}{1 + \frac{1}{x ^{2 n}}}$
となる。 $\frac{1}{x ^{2 n}} = (\frac{1}{x ^{2}})^{n}$ で $0 < \frac{1}{x ^{2}} < 1$ だから、 $\frac{1}{x ^{2 n}} \to 0$ である。よって $f (x) = 2 x$ 。

【手順4】 $x = 1$ を代入すると $f (1) = \frac{2 + a + b + 3}{1 + 1} = \frac{a + b + 5}{2}$ 。 $x = - 1$ では $(- 1)^{2 n + 1} = - 1$ 、 $(- 1)^{2 n} = 1$ なので $f (- 1) = \frac{- 2 + a - b + 3}{2} = \frac{a - b + 1}{2}$ 。

【手順5】 $- 1 < x < 1$ と $∣ x ∣ > 1$ では $f (x)$ は多項式なので連続である。したがって、 $x = \pm 1$ で連続であればよい。
・ $x = 1$ について： $lim_{x \to 1 - 0} f (x) = a + b + 3$ （ $- 1 < x < 1$ 側）、 $lim_{x \to 1 + 0} f (x) = 2$ （ $x > 1$ 側）。連続の条件は $a + b + 3 = 2 = \frac{a + b + 5}{2}$ で、どちらの等式からも $a + b = - 1$ が得られる。
・ $x = - 1$ について： $lim_{x \to - 1 - 0} f (x) = - 2$ （ $x < - 1$ 側）、 $lim_{x \to - 1 + 0} f (x) = a - b + 3$ （ $- 1 < x < 1$ 側）。連続の条件は $a - b + 3 = - 2 = \frac{a - b + 1}{2}$ で、どちらの等式からも $a - b = - 5$ が得られる。
連立方程式 $a + b = - 1$ 、 $a - b = - 5$ を解くと $a = - 3, b = 2$ 。
（確認：このとき $- 1 < x < 1$ では $f (x) = - 3 x^{2} + 2 x + 3$ となる。 $x = 1$ で $2$ 、 $x = - 1$ で $- 2$ となり、 $∣ x ∣ > 1$ 側の $2 x$ の値と一致する。）

答え: $(- 3, 2)$

よくある誤り

$x = - 1$ のとき $x^{2 n + 1}$ も $1$ としてしまう誤り。正しくは、 $2 n + 1$ は奇数なので $(- 1)^{2 n + 1} = - 1$ であり、 $f (- 1) = \frac{- 2 + a - b + 3}{2}$ となる。
$x = 1$ での値を、 $∣ x ∣ < 1$ の式 $a x^{2} + b x + 3$ や $∣ x ∣ > 1$ の式 $2 x$ に代入して求めてしまう誤り。正しくは、元の式に $x = 1$ を直接代入して $f (1) = \frac{a + b + 5}{2}$ とする。 $x = \pm 1$ は独立した場合として扱う。
$∣ x ∣ > 1$ のとき、分子が $\infty$ に向かうので $f (x)$ は発散すると考えてしまう誤り。正しくは、分子・分母を $x^{2 n}$ で割ると $\frac{2 x + \frac{a x ^{2} + b x + 3}{x ^{2 n}}}{1 + \frac{1}{x ^{2 n}}} \to 2 x$ となり、収束する。
$x = - 1$ の左右を取り違える誤り。正しくは、 $x \to - 1 - 0$ （左側）は $x < - 1$ 、つまり $∣ x ∣ > 1$ の式 $2 x$ を使う。 $x \to - 1 + 0$ （右側）は $- 1 < x < 1$ の式 $a x^{2} + b x + 3$ を使う。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

極限で定義された関数とその連続性

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