無限等比数列 ${r^{n}}$ の極限

${r^{n}}$ が収束する条件 $- 1 < r ≦ 1$ と、 $r > 1$ , $r = 1$ , $∣ r ∣ < 1$ , $r ≦ - 1$ での極限を使い分けられる。公比に文字を含む $(\frac{x ^{2} - 2 x - 1}{2})^{n}$ のような数列が収束する $x$ の範囲を、不等式を解いて求められる

前提

数列の極限（数学III 極限）
2 次不等式（数学I 2次関数）
連立不等式（数学I 数と式）

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算数中学高校大学大学院

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2 次不等式（数学I 2次関数）
1 次不等式（数学I 数と式）
連立不等式（数学I 数と式）

説明

$r$ を定数とする数列 $r, r^{2}, r^{3}, \dots$ （数列 ${r^{n}}$ ）が $n \to \infty$ でどうなるかを、 $r$ の値で場合分けして判定できるようになります。 ${r^{n}}$ が収束するのは $- 1 < r ≦ 1$ のときだけです。この事実を使うと、公比に文字 $x$ を含む数列が収束する $x$ の範囲を、不等式を解いて求められます。

なぜそうしてよいのか

まず $r > 1$ のときを考えます。 $r = 1 + h$ （ $h > 0$ ）とおくと、等比数列の和の公式から $r^{n} - 1 = (r - 1) (r^{n - 1} + r^{n - 2} + \dots + r + 1)$ です。右側のかっこ内の $n$ 個の項はどれも $1$ 以上なので $r^{n} - 1 ≧ hn$ 、つまり $r^{n} ≧ 1 + nh$ が成り立ちます。 $n \to \infty$ で $1 + nh \to \infty$ なので $lim_{n \to \infty} r^{n} = \infty$ （正の無限大に発散）です。 $r = 1$ なら $r^{n} = 1$ がずっと続くので、極限は $1$ です。

次に $0 < ∣ r ∣ < 1$ のときは $s = \frac{1}{∣ r ∣} > 1$ とおくと、上の結果から $s^{n} \to \infty$ なので $∣ r^{n} ∣ = \frac{1}{s ^{n}} \to 0$ です。 $- ∣ r ∣^{n} ≦ r^{n} ≦ ∣ r ∣^{n}$ と、はさみうちの原理から $lim_{n \to \infty} r^{n} = 0$ です（ $r = 0$ なら $r^{n} = 0$ なので当然 $0$ ）。

最後に $r ≦ - 1$ のとき。 $r = - 1$ なら $- 1, 1, - 1, 1, \dots$ と交互に並び、一つの値に近づきません。 $r < - 1$ なら $∣ r^{n} ∣ = ∣ r ∣^{n} \to \infty$ ですが符号が交互に変わるので、 $\infty$ にも $- \infty$ にも発散しません。このように、収束せず、 $\infty$ にも $- \infty$ にも発散しないことを「振動する」といいます。以上をまとめると、 ${r^{n}}$ が収束するのは $- 1 < r ≦ 1$ のときだけで、極限値は $∣ r ∣ < 1$ なら $0$ 、 $r = 1$ なら $1$ です。

手順

公比 $r$ の値で場合分けする： $r > 1$ なら $\infty$ に発散、 $r = 1$ なら極限は $1$ 、 $∣ r ∣ < 1$ （ $- 1 < r < 1$ ）なら極限は $0$ 、 $r ≦ - 1$ なら振動（発散）。
収束する条件を問われたら、公比 $r$ が $- 1 < r ≦ 1$ を満たすことを式にする（左は等号なし、右は等号あり）。
公比が $x$ の式のときは、 $- 1 < (公比) ≦ 1$ を2つの不等式「 $- 1 < (公比)$ 」と「 $(公比) ≦ 1$ 」に分ける。
それぞれの不等式を解く（分母を払うときは正の数を掛けて向きを保つ。2次不等式はグラフや因数分解で符号を読む）。
2つの解の共通部分を数直線上でとり、それが求める $x$ の範囲になる。

例題

数列 ${(\frac{x ^{2} - 4 x + 1}{2})^{n}}$ が収束するような実数 $x$ の値の範囲を求めよ。

例題の解答

【手順1・2】公比は $r = \frac{x ^{2} - 4 x + 1}{2}$ です。 ${r^{n}}$ が収束する条件は $- 1 < r ≦ 1$ なので
$- 1 < \frac{x ^{2} - 4 x + 1}{2} ≦ 1$
各辺に正の数 $2$ を掛けて $- 2 < x^{2} - 4 x + 1 ≦ 2$ です。
【手順3・4】左側： $- 2 < x^{2} - 4 x + 1$ より $x^{2} - 4 x + 3 > 0$ 、 $(x - 1) (x - 3) > 0$ なので $x < 1, 3 < x$ 。
右側： $x^{2} - 4 x + 1 ≦ 2$ より $x^{2} - 4 x - 1 ≦ 0$ 。 $x^{2} - 4 x - 1 = 0$ の解は $x = 2 \pm 5$ なので $2 - 5 ≦ x ≦ 2 + 5$ 。
【手順5】 $2 - 5 \approx - 0.24$ 、 $2 + 5 \approx 4.24$ であり $2 - 5 < 1 < 3 < 2 + 5$ です。数直線で共通部分をとると
$2 - 5 ≦ x < 1, 3 < x ≦ 2 + 5$
（ $x = 2 \pm 5$ のとき $r = 1$ で極限は $1$ 、それ以外の範囲内では $∣ r ∣ < 1$ で極限は $0$ となり、確かに収束します。）

答え: $2 - 5 ≦ x < 1, 3 < x ≦ 2 + 5$

よくある誤り

収束条件を $- 1 ≦ r ≦ 1$ としてしまう誤り。 $r = - 1$ のとき $(- 1)^{n}$ は $- 1, 1, - 1, \dots$ と振動するので収束しない。正しくは $- 1 < r ≦ 1$ 。
収束条件を $∣ r ∣ < 1$ だけにしてしまう誤り。 $r = 1$ のとき $1^{n} = 1$ なので極限 $1$ に収束する。正しくは $- 1 < r ≦ 1$ で、例題では $x = 2 \pm 5$ も含める。
$r < - 1$ のとき $lim_{n \to \infty} r^{n} = - \infty$ としてしまう誤り。例えば $(- 2)^{n}$ は $- 2, 4, - 8, 16, \dots$ と符号が交互に変わるので振動する。正しくは「振動（発散）」。
$- 2 < x^{2} - 4 x + 1 ≦ 2$ の片方の不等式だけを解いてしまう誤り。例えば右側だけで $2 - 5 ≦ x ≦ 2 + 5$ とすると、 $x = 2$ のとき $r = - \frac{3}{2}$ となり収束しない。正しくは2つの解の共通部分をとる。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

極限で定義された関数とその連続性（数学III 極限）

無限等比数列 {rn} の極限

前提

説明