極限の問題

$r=\frac{2x-1}{x+3}$ とおく。数列 $\{r^n\}$ が収束するための必要十分条件は
$$-1<r\le 1$$
である（$-1<r<1$ のとき極限は $0$、$r=1$ のとき極限は $1$ であり、$r\le -1$ または $r>1$ のときは発散する）。

(1) $r\le 1$ の条件
$$\frac{2x-1}{x+3}-1=\frac{2x-1-(x+3)}{x+3}=\frac{x-4}{x+3}\le 0$$
分子と分母の符号が異なるか、分子が $0$ である。分母は $0$ にならないので
$$-3<x\le 4$$

(2) $r>-1$ の条件
$$\frac{2x-1}{x+3}+1=\frac{2x-1+(x+3)}{x+3}=\frac{3x+2}{x+3}>0$$
分子と分母が同符号であるから
$$x<-3\text{または}x>-\frac{2}{3}$$

(1), (2) の共通範囲を求めると
$$-\frac{2}{3}<x\le 4$$

（確認）$x=4$ のとき $r=\frac{7}{7}=1$ で、数列は $1$ に収束する。$x=-\frac{2}{3}$ のとき $r=\frac{-7/3}{7/3}=-1$ で、数列は $-1,1,-1,\cdots$ と振動するので収束しない。

よって、求める範囲は $-\frac{2}{3}<x\le 4$ である。

$r=\frac{2x-1}{x+3}$ とおく。数列 $\{r^n\}$ が収束する条件は $-1<r\le 1$ である。

(i) $r\le 1$ のとき: $r-1=\frac{x-4}{x+3}\le 0$ より $-3<x\le 4$。

(ii) $r>-1$ のとき: $r+1=\frac{3x+2}{x+3}>0$ より $x<-3$ または $x>-\frac{2}{3}$。

(i) と (ii) の共通部分は $-\frac{2}{3}<x\le 4$。

検算: $x=4$ のとき $r=1$ で、数列は定数 1 なので収束する。$x=-\frac{2}{3}$ のとき $r=-1$ で、数列は $-1,1,-1,\cdots$ となり発散する。したがって端点の扱いは正しい。

答え: $-\frac{2}{3}<x\le 4$