極限の問題

この数列は、公比 $r=\frac{3x-1}{2}$ の無限等比数列 $\{r^n\}$ です。

手順1：$\{r^n\}$ の極限を確認する

無限等比数列 $\{r^n\}$ の極限は次のようになります。
- $r>1$ のとき $\underset{n\to \infty }{\lim }{r}^n=\infty$（発散）
- $r=1$ のとき $\underset{n\to \infty }{\lim }{r}^n=1$（収束）
- $|r|<1$ のとき $\underset{n\to \infty }{\lim }{r}^n=0$（収束）
- $r\leqq -1$ のとき 振動する（発散）

したがって、$\{r^n\}$ が収束するための必要十分条件は $$-1<r\leqq 1$$ です。右端の $r=1$ は含み、左端の $r=-1$ は含まないことに注意します（$r=-1$ のときは $-1,1,-1,1,\dots$ と振動します）。

手順2：公比を条件に代入する

$r=\frac{3x-1}{2}$ なので、求める条件は $$-1<\frac{3x-1}{2}\leqq 1$$ です。

手順3：不等式を解く

各辺に $2$ をかけると（$2>0$ なので不等号の向きは変わりません） $$-2<3x-1\leqq 2$$ 各辺に $1$ を加えると $$-1<3x\leqq 3$$ 各辺を $3$ で割ると $$-\frac{1}{3}<x\leqq 1$$

よって、求める $x$ の値の範囲は $-\frac{1}{3}<x\leqq 1$ です。

（確認：$x=1$ のとき $r=1$ で極限は $1$、$x=-\frac{1}{3}$ のとき $r=-1$ で振動します。）

公比を $r=\frac{3x-1}{2}$ とおくと、数列 $\{r^n\}$ が収束する条件は $-1<r\le 1$ である。

$-1<\frac{3x-1}{2}\le 1$ の各辺に 2 をかけると $-2<3x-1\le 2$。
各辺に 1 を加えると $-1<3x\le 3$。
各辺を 3 で割ると $-\frac{1}{3}<x\le 1$。

検算：$x=1$ のとき $r=1$ で、数列は常に 1 なので収束する。$x=-\frac{1}{3}$ のとき $r=-1$ で、数列は $-1,1,-1,\dots$ となり振動して発散する。$x=0$ のとき $r=-\frac{1}{2}$ で、0 に収束する。したがって答えは $-\frac{1}{3}<x\le 1$ である。