極限の問題

$r=\frac{x^2-3x}{2}$ とおくと、$a_n=r^n$ は公比 $r$ の等比数列である。

無限等比数列 $\{r^n\}$ について
- $-1<r<1$ のとき $\underset{n\to \infty }{\lim }{r}^n=0$（収束）
- $r=1$ のとき $\underset{n\to \infty }{\lim }{r}^n=1$（収束）
- $r=-1$ のとき $-1,1,-1,1,\dots$ と振動する（発散）
- $|r|>1$ のとき発散する

したがって、$\{a_n\}$ が収束する条件は $-1<r\le 1$ である。すなわち
$$-1<\frac{x^2-3x}{2}\le 1⟺-2<x^2-3x\le 2.$$

左側の不等式 $x^2-3x>-2$ より $x^2-3x+2>0$、すなわち $(x-1)(x-2)>0$ なので
$$x<1\text{または}x>2.(1)$$

右側の不等式 $x^2-3x\le 2$ より $x^2-3x-2\le 0$。$x^2-3x-2=0$ の解は $x=\frac{3\pm \sqrt{17}}{2}$ なので
$$\frac{3-\sqrt{17}}{2}\le x\le \frac{3+\sqrt{17}}{2}.(2)$$

$\sqrt{17}$ は $4<\sqrt{17}<5$ を満たすので、$\frac{3-\sqrt{17}}{2}$ は $-1$ と $0$ の間、$\frac{3+\sqrt{17}}{2}$ は $3$ と $4$ の間にある。よって $\frac{3-\sqrt{17}}{2}<1<2<\frac{3+\sqrt{17}}{2}$ であり、$(1)$ と $(2)$ の共通部分は
$$\frac{3-\sqrt{17}}{2}\le x<1,2<x\le \frac{3+\sqrt{17}}{2}.$$

なお、$x=\frac{3\pm \sqrt{17}}{2}$ のときは $r=1$ で $a_n=1$ となり収束する。一方、$x=1,2$ のときは $r=-1$ で振動するので含まない。

公比 $r=\frac{x^2-3x}{2}$ とおく。等比数列 $r^n$ が収束する条件は $-1<r\le 1$ である。

(1) $r\le 1$ より $x^2-3x\le 2$、すなわち $x^2-3x-2\le 0$。これを解くと $\frac{3-\sqrt{17}}{2}\le x\le \frac{3+\sqrt{17}}{2}$。

(2) $r>-1$ より $x^2-3x>-2$、すなわち $x^2-3x+2>0$、$(x-1)(x-2)>0$。これを解くと $x<1$ または $x>2$。

共通部分を取る。$\frac{3-\sqrt{17}}{2}\approx -0.56$、$\frac{3+\sqrt{17}}{2}\approx 3.56$ なので、
$\frac{3-\sqrt{17}}{2}\le x<1$ または $2<x\le \frac{3+\sqrt{17}}{2}$。

検算：$x=0$ のとき $r=0$ で収束する。$x=1.5$ のとき $r=(2.25-4.5)/2=-1.125$ で発散する。$x=\frac{3+\sqrt{17}}{2}$ のとき $r=1$ で収束する。$x=1$ のとき $r=-1$ で振動し発散する。$x=2$ のとき $r=-1$ で発散する。これらは上の結果と合う。