極限の問題

この級数は、初項 $x$、公比 $r=x^2-2x$ の無限等比級数である。

無限等比級数 $\sum _{n=1}^{\infty }a{r}^{n-1}$ が収束するのは、「$a=0$」または「$-1<r<1$」のときである。

(i) 初項が $0$ のとき

$x=0$ のとき、すべての項が $0$ なので級数は収束する（和は $0$）。

(ii) 初項が $0$ でないとき

$x\ne 0$ のとき、収束する条件は
$$-1<x^2-2x<1$$
である。

右側の不等式 $x^2-2x<1$ より $x^2-2x-1<0$。方程式 $x^2-2x-1=0$ の解は $x=1\pm \sqrt{2}$ なので
$$1-\sqrt{2}<x<1+\sqrt{2}(1)$$

左側の不等式 $x^2-2x>-1$ より $x^2-2x+1>0$、すなわち $(x-1{)}^2>0$。よって
$$x\ne 1(2)$$

$(1)$ と $(2)$ より $1-\sqrt{2}<x<1,1<x<1+\sqrt{2}$。これと $x\ne 0$ をあわせると
$$1-\sqrt{2}<x<0,0<x<1,1<x<1+\sqrt{2}$$
となる。

(i), (ii) をあわせる

$x=0$ も収束するので、$0<x<1$ の部分とつながり、求める範囲は
$$1-\sqrt{2}<x<1,1<x<1+\sqrt{2}$$
である（$1-\sqrt{2}<0$ なので、$x=0$ は $1-\sqrt{2}<x<1$ に含まれる）。

確認

• $x=1$ のとき、公比は $-1$ で、級数は $1-1+1-1+\cdots$ となり振動して収束しない。
• $x=1\pm \sqrt{2}$ のとき、公比は $1$ で、初項は $0$ でないので発散する。

よって答えは $1-\sqrt{2}<x<1,1<x<1+\sqrt{2}$ である。

初項 $x$、公比 $r=x^2-2x$ の無限等比級数である。

収束条件は「初項が $0$」または「$|r|<1$」である。

・$x=0$ のとき、すべての項が $0$ なので収束する。$x=0$ は下の $|r|<1$ の範囲にも含まれる。

・$|x^2-2x|<1$ を解く。
(i) $x^2-2x<1$ より $x^2-2x-1<0$ なので、$1-\sqrt{2}<x<1+\sqrt{2}$。
(ii) $x^2-2x>-1$ より $(x-1{)}^2>0$ なので、$x\ne 1$。

以上より、$1-\sqrt{2}<x<1+\sqrt{2}$ かつ $x\ne 1$ である。

検算：$x=1$ のとき公比は $-1$ で、級数は $1-1+1-\cdots$ となり発散する。$x=0.5$ のとき公比は $-0.75$ で、$|r|<1$ なので収束する。$x=2$ のとき公比は $0$ で、和は $2$ となり収束する。$x=2$ は $1+\sqrt{2}\approx 2.414$ より小さいので範囲内である。