文字を含む無限等比級数の収束条件と和

初項や公比に文字を含む無限等比級数 $\sum a r^{n - 1}$ が収束する条件を「 $a = 0$ または $- 1 < r < 1$ 」と表して $x$ の範囲を求められる。和 $\frac{a}{1 - r}$ についての不等式の条件も合わせて解ける

前提

無限等比級数と無限級数（数学III 極限）
2 次不等式（数学I 2次関数）
連立不等式（数学I 数と式）

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算数中学高校大学大学院

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2 次不等式（数学I 2次関数）
1 次不等式（数学I 数と式）
連立不等式（数学I 数と式）

説明

初項や公比に文字 $x$ が入った無限等比級数 $n = 1 \sum \infty a r^{n - 1}$ について、級数が収束するような $x$ の範囲を求められるようになります。条件は「 $a = 0$ または $- 1 < r < 1$ 」です。 $r$ が $x$ の式なら、2 次不等式や連立不等式を解いて範囲を出します。「和が○○より大きい」のように和 $\frac{a}{1 - r}$ に条件がついた問題にも、同じ考え方で取り組めます。

なぜそうしてよいのか

収束するかどうかは、部分和 $S_{n} = a + a r + \dots + a r^{n - 1}$ の極限で決まります。まず $a = 0$ なら、どの項も $0$ なので $S_{n} = 0$ です。このとき $r$ が何であっても級数は収束し、和は $0$ です。この場合を見落とさないことが、文字を含む問題でいちばん大事な点です。

$a \neq = 0$ のときは公比 $r$ で決まります。 $r \neq = 1$ なら $S_{n} = \frac{a ( 1 - r ^{n} )}{1 - r}$ です。 $r^{n}$ が収束して $0$ に近づくのは $- 1 < r < 1$ のときだけなので、このとき $S_{n} \to \frac{a}{1 - r}$ となります。 $r = 1$ なら $S_{n} = na$ となって発散します。 $r = - 1$ や $∣ r ∣ > 1$ のときも $r^{n}$ が振動するか発散するので、 $S_{n}$ は収束しません。まとめると、収束する条件は「 $a = 0$ または $- 1 < r < 1$ 」です。

$r$ が $x$ の式のとき、 $- 1 < r < 1$ は「 $- 1 < r$ かつ $r < 1$ 」という 2 つの不等式の共通部分になります。これに $a = 0$ となる $x$ を「または」で付け加えたものが答えです。和についての条件を扱うときは、 $a = 0$ の場合は和が $0$ です。 $- 1 < r < 1$ の場合は和が $\frac{a}{1 - r}$ で、 $1 - r > 0$ なので、分母を払っても不等号の向きは変わりません。

手順

初項 $a$ と公比 $r$ を $x$ の式で書き出す（第 1 項が $a$ 、第 2 項 $\div$ 第 1 項が $r$ ）
$a = 0$ となる $x$ を求める。このとき級数は $r$ によらず収束し、和は $0$
$- 1 < r < 1$ を「 $- 1 < r$ 」と「 $r < 1$ 」に分けてそれぞれ解き、数直線上で共通部分をとる
手順 2 の $x$ と手順 3 の範囲を「または」で合わせて（和集合をとって）、収束する $x$ の範囲とする
和に条件があるときは、 $a = 0$ の場合は和 $= 0$ として調べる。 $- 1 < r < 1$ の場合は和 $= \frac{a}{1 - r}$ として不等式を解き（ $1 - r > 0$ を使う）、最後に収束の範囲との共通部分をとる

例題

無限等比級数 $n = 1 \sum \infty x (x^{2} - x - 1)^{n - 1}$ が収束するような実数 $x$ の値の範囲を求めよ。

例題の解答

手順 1：初項は $a = x$ 、公比は $r = x^{2} - x - 1$ である。

手順 2： $a = 0$ となるのは $x = 0$ のときである。このときすべての項が $0$ なので、級数は収束する（和は $0$ ）。

手順 3： $- 1 < x^{2} - x - 1 < 1$ を 2 つに分けて解く。
・ $- 1 < x^{2} - x - 1$ より $x^{2} - x > 0$ 、つまり $x (x - 1) > 0$ なので $x < 0, 1 < x$ 。
・ $x^{2} - x - 1 < 1$ より $x^{2} - x - 2 < 0$ 、つまり $(x + 1) (x - 2) < 0$ なので $- 1 < x < 2$ 。
共通部分をとると $- 1 < x < 0, 1 < x < 2$ である。

手順 4：手順 2 の $x = 0$ を合わせると、 $- 1 < x \leq 0, 1 < x < 2$ となる（ $x = 0$ のとき $r = - 1$ で、手順 3 の範囲には入っていないが、 $a = 0$ なので収束する）。

念のため端を確かめる。 $x = - 1, 2$ のとき $r = 1$ 、 $a \neq = 0$ なので発散する。 $x = 1$ のとき $r = - 1$ 、 $a = 1$ なので発散する。

答え： $- 1 < x \leq 0, 1 < x < 2$

答え: $- 1 < x \leq 0, 1 < x < 2$

よくある誤り

$a = 0$ の場合を忘れて、 $- 1 < r < 1$ だけを解いてしまう誤り。上の例題では答えが $- 1 < x < 0, 1 < x < 2$ になり、 $x = 0$ が抜ける。正しくは、 $a = 0$ なら公比によらず収束するので、 $x = 0$ も加えて $- 1 < x \leq 0, 1 < x < 2$ となる。
端を含めて $- 1 \leq r \leq 1$ としてしまう誤り。 $r = 1$ だと $S_{n} = na$ で発散し、 $r = - 1$ だと $S_{n}$ が $a$ と $0$ を交互にとって振動する（ $a \neq = 0$ のとき）。正しくは等号なしで $- 1 < r < 1$ である。
$- 1 < r$ と $r < 1$ の解を「または」で合わせてしまう誤り。例題で $x < 0, 1 < x$ と $- 1 < x < 2$ を合わせると、すべての実数になってしまう。正しくは 2 つを同時に満たす共通部分 $- 1 < x < 0, 1 < x < 2$ をとる。「または」で合わせるのは $a = 0$ の場合だけである。
収束を確かめずに和の公式を使ってしまう誤り。たとえば $1 + 2 + 4 + \dots = \frac{1}{1 - 2} = - 1$ とするのは誤りで、公比 $2$ なのでこの級数は発散する。和についての条件を解くときも、得られた範囲と収束の範囲 $- 1 < r < 1$ との共通部分を必ずとる。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

文字を含む無限等比級数の収束条件と和

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