極限の問題

この無限級数は、初項 $x$、公比 $r=x^2-3x+1$ の無限等比級数である。

無限等比級数 $\sum _{n=1}^{\infty }a{r}^{n-1}$ が収束するのは、「$a=0$」または「$-1<r<1$」のときである。

(i) 初項 $x=0$ のとき

すべての項が $0$ なので、級数は収束し、その和は $0$ である。よって $x=0$ は条件を満たす。

(ii) 初項 $x\ne 0$ のとき

収束する条件は $-1<x^2-3x+1<1$ である。

右側の不等式 $x^2-3x+1<1$ より
$$x^2-3x<0\text{すなわち}x(x-3)<0$$
よって $0<x<3$。

左側の不等式 $-1<x^2-3x+1$ より
$$x^2-3x+2>0\text{すなわち}(x-1)(x-2)>0$$
よって $x<1$ または $x>2$。

両方を同時に満たす範囲は
$$0<x<1\text{または}2<x<3$$
となる。この範囲は $x\ne 0$ を満たしている。

(i), (ii) をまとめる

求める範囲は
$$0\le x<1\text{または}2<x<3$$
すなわち $[0,1)\cup (2,3)$ である。

(参考) $x=0$ のとき公比は $r=1$ となるが、初項が $0$ なので級数は収束する。この場合を見落とさないことが大切である。

初項 $x$、公比 $r=x^2-3x+1$ の無限等比級数である。

収束条件は「初項 $x=0$」または「$|r|<1$」である。

(i) $x=0$ のとき、すべての項が 0 なので収束する。

(ii) $x\ne 0$ のとき、$|x^2-3x+1|<1$ すなわち $-1<x^2-3x+1<1$ が条件となる。
- $x^2-3x+1<1$ より $x(x-3)<0$ なので $0<x<3$。
- $x^2-3x+1>-1$ より $x^2-3x+2>0$、つまり $(x-1)(x-2)>0$ なので $x<1$ または $x>2$。

両方を満たす範囲は $0<x<1$ または $2<x<3$ である。

(i) と (ii) を合わせて、$0\le x<1$ または $2<x<3$。

検算: $x=0.5$ のとき $r=0.25-1.5+1=-0.25$ で $|r|<1$ なので収束する。$x=1$ のとき $r=-1$ で、項は $1,-1,1,\dots$ となり発散する。$x=2$ のとき $r=-1$ で、項は $2,-2,\dots$ となり発散する。$x=3$ のとき $r=1$ で、項は $3,3,\dots$ となり発散する。