極限の問題

この無限級数は、初項 $x$、公比 $\frac{2x+1}{3}$ の無限等比級数である。

無限等比級数 $\sum _{n=1}^{\infty }a{r}^{n-1}$ が収束するのは、
$$a=0\text{または}-1<r<1$$
のときである。これを順に調べる。

(i) 初項が $0$ のとき

$x=0$ のとき、すべての項が $0$ なので、級数は収束する（和は $0$）。

(ii) 公比が $-1<r<1$ のとき
$$-1<\frac{2x+1}{3}<1$$
各辺に $3$ をかけると
$$-3<2x+1<3$$
各辺から $1$ をひくと
$$-4<2x<2$$
各辺を $2$ で割ると
$$-2<x<1$$
このとき級数は収束し、和は $\frac{x}{1-\frac{2x+1}{3}}=\frac{3x}{2-2x}$ である。

なお、$x\ne 0$ かつ $\frac{2x+1}{3}\leqq -1$ または $\frac{2x+1}{3}\geqq 1$ のとき（すなわち $x\leqq -2$ または $x\geqq 1$ のとき）は、項 $a_n$ が $0$ に収束しないので級数は発散する。

(i), (ii) をまとめる

求める範囲は (i) と (ii) の範囲を合わせたものである。(i) の $x=0$ は (ii) の範囲 $-2<x<1$ に含まれているので、求める $x$ の値の範囲は
$$-2<x<1$$

初項 $x$、公比 $r=\frac{2x+1}{3}$ の無限等比級数である。

収束条件は、初項が $0$、または $|r|<1$ のときである。

(i) $x=0$ のとき、すべての項が $0$ なので収束する（和は $0$）。

(ii) $x\ne 0$ のとき、$|r|<1$ が必要十分である。
$\left|\frac{2x+1}{3}\right|<1$ より $|2x+1|<3$、すなわち $-3<2x+1<3$。よって $-2<x<1$。

(i) の $x=0$ はこの範囲に含まれる。したがって求める範囲は $-2<x<1$ である。

検算：$x=-2$ のとき $r=-1$、$a_n=-2(-1{)}^{n-1}$ となり振動して発散する。$x=1$ のとき $r=1$、$a_n=1$ となり発散する。$x=0$ のとき収束する。端点で発散するので、範囲は開区間でよい。