極限の問題

$r=\frac{2}{3}$、$a_n=r^n\sin \frac{n\pi }{3}$ とし、部分和を $S_N=\sum _{n=1}^N{a}_n$ とおく。

周期性の確認

$\sin \frac{(n+6)\pi }{3}=\sin \left(\frac{n\pi }{3}+2\pi \right)=\sin \frac{n\pi }{3}$ である。よって $\sin \frac{n\pi }{3}$ は周期 $6$ でくり返す。$n=1,2,\dots ,6$ のときの値は次のとおりである。
$$\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{\sqrt{3}}{2},0,-\frac{\sqrt{3}}{2},-\frac{\sqrt{3}}{2},0$$

6 項ずつのまとまり

$k$ 番目のまとまり $T_k=\sum _{n=6k-5}^{6k}{a}_n$ を考える。各項は $n=1,\dots ,6$ の項に $r^{6(k-1)}$ を掛けたものなので、
$$T_k=r^{6(k-1)}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\left(r+r^2-r^4-r^5\right)$$
となる。$r=\frac{2}{3}$ を代入すると
$$r+r^2-r^4-r^5=\frac{162}{243}+\frac{108}{243}-\frac{48}{243}-\frac{32}{243}=\frac{190}{243}$$
であるから、
$$T_k=\frac{95\sqrt{3}}{243}{\left(\frac{64}{729}\right)}^{k-1}$$
である。

$S_{6m}$ の極限

$T_k$ は初項 $\frac{95\sqrt{3}}{243}$、公比 $\frac{64}{729}$ の等比数列なので、
$$S_{6m}=\sum _{k=1}^m{T}_k=\frac{95\sqrt{3}}{243}\cdot \frac{1-{\left(\frac{64}{729}\right)}^m}{1-\frac{64}{729}}$$
である。$0<\frac{64}{729}<1$ より、$m\to \infty$ のとき
$$S_{6m}\to \frac{95\sqrt{3}}{243}\cdot \frac{729}{665}=\frac{95\cdot 3\sqrt{3}}{665}=\frac{3\sqrt{3}}{7}$$
となる（$665=95\cdot 7$）。

一般の $N$ について

$N=6m+j$（$j=0,1,\dots ,5$）と書く。$|a_n|\le r^n$ であるから、
$$|S_N-S_{6m}|\le \sum _{n=6m+1}^{6m+5}{r}^n<\sum _{n=6m+1}^{\infty }{r}^n=\frac{r^{6m+1}}{1-r}=3{\left(\frac{2}{3}\right)}^{6m+1}$$
が成り立つ。$N\to \infty$ のとき $m\to \infty$ なので、右辺は $0$ に近づく。したがって $S_N$ も $S_{6m}$ と同じ値に収束し、
$$\sum _{n=1}^{\infty }{\left(\frac{2}{3}\right)}^n\sin \frac{n\pi }{3}=\frac{3\sqrt{3}}{7}$$
である。

（別解）複素数 $w=\frac{2}{3}\left(\cos \frac{\pi }{3}+i\sin \frac{\pi }{3}\right)$ を考える。ド・モアブルの定理より、$w^n$ の虚部は $a_n$ に等しい。$|w|<1$ なので $\sum _{n=1}^{\infty }{w}^n=\frac{w}{1-w}$ となり、その虚部は
$$\frac{r\sin \frac{\pi }{3}}{1-2r\cos \frac{\pi }{3}+r^2}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{3}}{\frac{7}{9}}=\frac{3\sqrt{3}}{7}$$
と一致する。

$z=\frac{2}{3}\left(\cos \frac{\pi }{3}+i\sin \frac{\pi }{3}\right)=\frac{1+\sqrt{3}i}{3}$ とおく。ド・モアブルの定理より ${\left(\frac{2}{3}\right)}^n\sin \frac{n\pi }{3}=\mathrm{Im}{z}^n$ である。$|z|=\frac{2}{3}<1$ なので級数は収束し、
${\sum }_{n=1}^{\infty }{z}^n=\frac{z}{1-z}$。
$1-z=\frac{2-\sqrt{3}i}{3}$ だから、
$\frac{z}{1-z}=\frac{1+\sqrt{3}i}{2-\sqrt{3}i}=\frac{(1+\sqrt{3}i)(2+\sqrt{3}i)}{7}=\frac{-1+3\sqrt{3}i}{7}$。
この虚部をとって、和は $\frac{3\sqrt{3}}{7}$ である。
検算として、第12項ほどまでの部分和を計算すると約 0.744 となり、$\frac{3\sqrt{3}}{7}\approx 0.7423$ とほぼ一致する。