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極限の問題

難易度 4国公立二次の標準レベル数学III 極限

次の無限級数の和を求めよ。
$n = 1 \sum \infty \frac{n}{2 ^{n}} cos \frac{2 nπ}{3}$
ただし、必要ならば $0 < x < 1$ のとき $n \to \infty lim n x^{n} = 0$ であることを用いてよい。

この問題で使うもの

弧度法と単位円による三角関数（説明と入口の問題）
等差・等比数列の和と Σ（説明と入口の問題）
無限等比級数と無限級数（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（22 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

$cos \frac{2 nπ}{3}$ は $n$ を $3$ で割った余りによって $- \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}, 1$ のくり返しになります。この値を「すべての $n$ に共通の部分」と「 $3$ の倍数のときだけ加わる部分」に分けてみましょう。

ヒント 2

$cos \frac{2 nπ}{3} = - \frac{1}{2} + \frac{3}{2} e_{n}$ （ $e_{n}$ は $n$ が $3$ の倍数なら $1$ 、そうでなければ $0$ ）と書けます。すると $\sum n x^{n}$ 型の級数が 2 つ現れます。 $T_{N} = \sum_{n = 1}^{N} n x^{n}$ について $T_{N} - x T_{N}$ を計算しましょう。

ヒント 3

$0 < x < 1$ のとき $\sum_{n = 1}^{\infty} n x^{n} = \frac{x}{( 1 - x ) ^{2}}$ です。これより $\sum \frac{n}{2 ^{n}} = 2$ となります。また $3$ の倍数の項は $\sum_{m} \frac{3 m}{8 ^{m}}$ となるので、 $x = \frac{1}{8}$ の場合を使います。

答えと解説

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- \frac{13}{49}

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解説を読む

1. $cos \frac{2 nπ}{3}$ の値を書き直す

$c_{n} = cos \frac{2 nπ}{3}$ とおく。 $n$ を $3$ で割った余りで値が決まり、
$c_{n} = ⎩ ⎨ ⎧ - \frac{1}{2} 1 (n \equiv 1, 2 (mod 3)) (n \equiv 0 (mod 3))$
である。 $n$ が $3$ の倍数のとき $1$ 、そうでないとき $0$ となる数を $e_{n}$ とすると、
$c_{n} = - \frac{1}{2} + \frac{3}{2} e_{n}$
と書ける。実際、 $3 ∣ n$ なら $- \frac{1}{2} + \frac{3}{2} = 1$ 、そうでなければ $- \frac{1}{2}$ となる。

2. 部分和を分解する

部分和を $S_{N} = n = 1 \sum N \frac{n}{2 ^{n}} c_{n}$ とすると、
$S_{N} = - \frac{1}{2} n = 1 \sum N \frac{n}{2 ^{n}} + \frac{3}{2} m = 1 \sum M \frac{3 m}{2 ^{3 m}} = - \frac{1}{2} n = 1 \sum N \frac{n}{2 ^{n}} + \frac{9}{2} m = 1 \sum M \frac{m}{8 ^{m}}$
となる。ここで $M$ は $N$ 以下の $3$ の倍数の個数で、 $N \to \infty$ のとき $M \to \infty$ である。

3. $n = 1 \sum \infty n x^{n}$ $(0 < x < 1)$ を求める

$T_{N} = n = 1 \sum N n x^{n}$ とおく。 $T_{N} - x T_{N}$ を計算すると、
$T_{N} - x T_{N} = x + x^{2} + \dots + x^{N} - N x^{N + 1}$
となるので、
$(1 - x) T_{N} = \frac{x ( 1 - x ^{N} )}{1 - x} - N x^{N + 1}$
である。 $0 < x < 1$ より、 $N \to \infty$ のとき $x^{N} \to 0$ であり、また $N x^{N + 1} = x \cdot N x^{N} \to 0$ である。よって
$N \to \infty lim T_{N} = \frac{x}{( 1 - x ) ^{2}}$
となる。

$x = \frac{1}{2}$ のとき： $n = 1 \sum \infty \frac{n}{2 ^{n}} = \frac{\frac{1}{2}}{( \frac{1}{2} ) ^{2}} = 2$
$x = \frac{1}{8}$ のとき： $m = 1 \sum \infty \frac{m}{8 ^{m}} = \frac{\frac{1}{8}}{( \frac{7}{8} ) ^{2}} = \frac{1}{8} \cdot \frac{64}{49} = \frac{8}{49}$

4. 和を求める

2 つの級数はどちらも収束するので、 $S_{N}$ も収束する。その極限は
$N \to \infty lim S_{N} = - \frac{1}{2} \cdot 2 + \frac{9}{2} \cdot \frac{8}{49} = - 1 + \frac{36}{49} = - \frac{13}{49}$
である。

（検算として、最初の数項を足すと $- 0.25, - 0.5, - 0.125, - 0.25, - 0.328, - 0.234, - 0.262, \dots$ となり、 $- \frac{13}{49} \approx - 0.265$ に近づく。）

よって、求める和は $- \frac{13}{49}$ である。

別解

$z = \frac{1}{2} e^{2 π i /3} = - \frac{1}{4} + \frac{3}{4} i$ とおく。すると $\frac{n}{2 ^{n}} cos \frac{2 nπ}{3} = Re (n z^{n})$ である。 $∣ z ∣ = \frac{1}{2} < 1$ であり、 $n x^{n} \to 0$ より級数は収束する。そこで $\sum_{n = 1}^{\infty} n z^{n} = \frac{z}{( 1 - z ) ^{2}}$ を用いる（ $S_{N} = \sum_{n = 1}^{N} n z^{n}$ について $(1 - z) S_{N} = \sum_{n = 1}^{N} z^{n} - N z^{N + 1}$ とし、 $N \to \infty$ とすれば得られる）。

$1 - z = \frac{5 - 3 i}{4}$ より $(1 - z)^{2} = \frac{22 - 10 3 i}{16} = \frac{11 - 5 3 i}{8}$ 。

よって $\frac{z}{( 1 - z ) ^{2}} = \frac{- 1 + 3 i}{4} \cdot \frac{8}{11 - 5 3 i} = \frac{2 ( - 1 + 3 i )}{11 - 5 3 i}$ 。

分母分子に $11 + 53 i$ を掛ける。分母は $121 + 75 = 196$ 、分子は $(- 1 + 3 i) (11 + 53 i) = - 26 + 63 i$ 。

ゆえに和は $\frac{2 ( - 26 + 6 3 i )}{196} = \frac{- 26 + 6 3 i}{98}$ 。その実部は $- \frac{26}{98} = - \frac{13}{49}$ 。

検算として、第12項までの部分和は約 $- 0.2644$ で、 $- \frac{13}{49} \approx - 0.2653$ に近づく。

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