極限の問題

$a_n$ の増加と発散

$$a_{n+1}-a_n=a_n^2-4a_n+4=(a_n-2{)}^2\ge 0$$
より $\{a_n\}$ は増加数列（広い意味）で、$a_n\ge a_1=\frac{5}{2}$。よって $a_n-2\ge \frac{1}{2}$ なので
$$a_{n+1}-a_n=(a_n-2{)}^2\ge \frac{1}{4}$$
したがって $a_n\ge \frac{5}{2}+\frac{n-1}{4}$ となり、$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=\infty$。また $a_n>2$ なので各項の分母は $0$ にならない。

部分分数分解の形をつくる

漸化式から
$$a_{n+1}-2=a_n^2-3a_n+2=(a_n-1)(a_n-2)$$
よって
$$\frac{1}{a_{n+1}-2}=\frac{1}{(a_n-1)(a_n-2)}=\frac{1}{a_n-2}-\frac{1}{a_n-1}$$
すなわち
$$\frac{1}{a_n-1}=\frac{1}{a_n-2}-\frac{1}{a_{n+1}-2}$$

部分和と極限

$$S_N=\sum _{n=1}^N\frac{1}{a_n-1}=\sum _{n=1}^N\left(\frac{1}{a_n-2}-\frac{1}{a_{n+1}-2}\right)=\frac{1}{a_1-2}-\frac{1}{a_{N+1}-2}=2-\frac{1}{a_{N+1}-2}$$
$N\to \infty$ のとき $a_{N+1}\to \infty$ より $\frac{1}{a_{N+1}-2}\to 0$。したがって
$$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{a_n-1}=\underset{N\to \infty }{\lim }{S}_N=2$$

漸化式より $a_{n+1}-2=a_n^2-3a_n+2=(a_n-1)(a_n-2)$。

$a_1-2=\frac{1}{2}>0$ で、$a_{n+1}-a_n=(a_n-2{)}^2>0$ より、帰納的に $a_n-2>0$（$a_{n+1}-2=(a_n-1)(a_n-2)>0$）かつ $a_n$ は単調増加。

逆数をとると
$$\frac{1}{a_{n+1}-2}=\frac{1}{(a_n-1)(a_n-2)}=\frac{1}{a_n-2}-\frac{1}{a_n-1}$$
なので $\frac{1}{a_n-1}=\frac{1}{a_n-2}-\frac{1}{a_{n+1}-2}$。

部分和 $S_N={\sum }_{n=1}^N\frac{1}{a_n-1}=\frac{1}{a_1-2}-\frac{1}{a_{N+1}-2}=2-\frac{1}{a_{N+1}-2}$。

$a_{n+1}-a_n=(a_n-2{)}^2\ge \frac{1}{4}$ より $a_n\to \infty$ なので $\frac{1}{a_{N+1}-2}\to 0$。和は $2$。

検算: $a_1=2.5$, $a_2=6.25-7.5+4=2.75$, $a_3=7.5625-8.25+4=3.3125$。$\frac{1}{1.5}+\frac{1}{1.75}+\frac{1}{2.3125}\approx 0.6667+0.5714+0.4324=1.6705$、$S_3=2-\frac{1}{a_4-2}$ で $a_4=10.972-9.9375+4=5.0348$、$2-0.3295=1.6705$ と一致。