極限の問題

三角関数の等式

$\sin \theta \cos \theta \ne 0$ のとき
$$\frac{1}{{\sin }^2\theta }+\frac{1}{{\cos }^2\theta }=\frac{{\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta }{{\sin }^2\theta {\cos }^2\theta }=\frac{1}{{\sin }^2\theta {\cos }^2\theta }=\frac{4}{{\sin }^{2}2\theta }$$
が成り立つ（$\sin 2\theta =2\sin \theta \cos \theta$ を用いた）。よって
$$\frac{1}{{\cos }^2\theta }=\frac{4}{{\sin }^{2}2\theta }-\frac{1}{{\sin }^2\theta }$$
である。

各項を差の形にする

$n=0,1,2,\dots$ に対して
$$b_n=\frac{1}{4^n{\sin }^2\frac{\pi }{2^{n+1}}}$$
とおく。$n\geqq 1$ のとき $0<\frac{\pi }{2^{n+1}}\leqq \frac{\pi }{4}$ なので、上の等式で $\theta =\frac{\pi }{2^{n+1}}$（$2\theta =\frac{\pi }{2^n}$）とし、両辺を $4^n$ で割ると
$$\frac{1}{4^n{\cos }^2\frac{\pi }{2^{n+1}}}=\frac{1}{4^{n-1}{\sin }^2\frac{\pi }{2^n}}-\frac{1}{4^n{\sin }^2\frac{\pi }{2^{n+1}}}=b_{n-1}-b_n$$
となる。

部分和

第 $N$ 項までの部分和を $S_N$ とすると
$$S_N=\sum _{n=1}^N(b_{n-1}-b_n)=b_0-b_N$$
であり、$b_0=\frac{1}{{\sin }^2\frac{\pi }{2}}=1$ である。

$b_N$ の極限

${\theta }_N=\frac{\pi }{2^{N+1}}$ とおくと、$2^N=\frac{\pi }{2{\theta }_N}$ より $4^N=\frac{{\pi }^2}{4{\theta }_N^2}$ だから
$$b_N=\frac{4{\theta }_N^2}{{\pi }^2{\sin }^2{\theta }_N}=\frac{4}{{\pi }^2}{\left(\frac{{\theta }_N}{\sin {\theta }_N}\right)}^2$$
である。$N\to \infty$ のとき ${\theta }_N\to 0$ であり、$\underset{\theta \to 0}{\lim }\frac{\sin \theta }{\theta }=1$ だから
$$\underset{N\to \infty }{\lim }{b}_N=\frac{4}{{\pi }^2}$$
となる。

答え

$$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{4^n{\cos }^2\frac{\pi }{2^{n+1}}}=\underset{N\to \infty }{\lim }{S}_N=1-\frac{4}{{\pi }^2}$$

一般項を $a_n=\frac{1}{4^n{\cos }^2\frac{\pi }{2^{n+1}}}$ とおく。

倍角の公式から、任意の $x$ について
$$\frac{1}{{\sin }^{2}2x}=\frac{1}{4{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x}=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{{\sin }^{2}x}+\frac{1}{{\cos }^{2}x}\right)$$
($\frac{1}{{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x}=\frac{{\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x}{{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x}=\frac{1}{{\cos }^{2}x}+\frac{1}{{\sin }^{2}x}$ を用いた)。よって
$$\frac{1}{{\cos }^{2}x}=\frac{4}{{\sin }^{2}2x}-\frac{1}{{\sin }^{2}x}.$$

これに $x=\frac{\pi }{2^{n+1}}$ を代入すると
$$a_n=\frac{1}{4^n}\left(\frac{4}{{\sin }^2\frac{\pi }{2^n}}-\frac{1}{{\sin }^2\frac{\pi }{2^{n+1}}}\right)=\frac{1}{4^{n-1}{\sin }^2\frac{\pi }{2^n}}-\frac{1}{4^n{\sin }^2\frac{\pi }{2^{n+1}}}.$$

$b_n=\frac{1}{4^{n-1}{\sin }^2\frac{\pi }{2^n}}$ とおくと $a_n=b_n-b_{n+1}$ となるので、部分和は
$$S_N=\sum _{n=1}^N{a}_n=b_1-b_{N+1}.$$

$b_1=\frac{1}{1\cdot {\sin }^2\frac{\pi }{2}}=1$。

$b_{N+1}=\frac{1}{4^N{\sin }^2\frac{\pi }{2^{N+1}}}$ において、$t=\frac{\pi }{2^{N+1}}$ とおくと $4^N=\frac{{\pi }^2}{4t^2}$ なので
$$b_{N+1}=\frac{4}{{\pi }^2}\cdot \frac{t^2}{{\sin }^{2}t}\to \frac{4}{{\pi }^2}(N\to \infty ,t\to 0,\frac{\sin t}{t}\to 1).$$

したがって $S_N\to 1-\frac{4}{{\pi }^2}$ となり、級数は収束してその和は $1-\frac{4}{{\pi }^2}$。

検算: 初めの 4 項は $0.5,0.0732,0.0162,0.0039$ で、和は約 $0.5934$、以降の項の和は約 $0.0013$ で、合計は約 $0.5947$。一方 $1-\frac{4}{{\pi }^2}\approx 1-0.4053=0.5947$ で一致する。