極限の問題

求める極限を考えるため、部分和を
$$S_n=\sum _{k=1}^n\frac{1}{4^k{\cos }^2\frac{\pi }{2^{k+1}}}$$
とおく。$k\geqq 1$ のとき $0<\frac{\pi }{2^{k+1}}\leqq \frac{\pi }{4}$ なので、各項の分母は $0$ でない。

鍵になる恒等式 $\sin \theta \ne 0,\cos \theta \ne 0$ のとき、2 倍角の公式 $\sin 2\theta =2\sin \theta \cos \theta$ より ${\sin }^{2}2\theta =4{\sin }^2\theta {\cos }^2\theta$ であるから
$$\frac{4}{{\sin }^{2}2\theta }=\frac{1}{{\sin }^2\theta {\cos }^2\theta }=\frac{{\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta }{{\sin }^2\theta {\cos }^2\theta }=\frac{1}{{\cos }^2\theta }+\frac{1}{{\sin }^2\theta }$$
すなわち
$$\frac{1}{{\cos }^2\theta }=\frac{4}{{\sin }^{2}2\theta }-\frac{1}{{\sin }^2\theta }(1)$$

差の形に直す $(1)$ で $\theta =\frac{\pi }{2^{k+1}}$（このとき $2\theta =\frac{\pi }{2^k}$）とし、両辺を $4^k$ で割ると
$$\frac{1}{4^k{\cos }^2\frac{\pi }{2^{k+1}}}=\frac{1}{4^{k-1}{\sin }^2\frac{\pi }{2^k}}-\frac{1}{4^k{\sin }^2\frac{\pi }{2^{k+1}}}$$
そこで $b_k=\frac{1}{4^k{\sin }^2\frac{\pi }{2^{k+1}}}(k=0,1,2,\dots )$ とおくと、上の式は
$$\frac{1}{4^k{\cos }^2\frac{\pi }{2^{k+1}}}=b_{k-1}-b_k$$
となる。これを $k=1$ から $n$ まで加えると、隣り合う項が打ち消し合って
$$S_n=b_0-b_n$$
ここで $b_0=\frac{1}{{\sin }^2\frac{\pi }{2}}=1$ である。

$b_n$ の極限 $t_n=\frac{\pi }{2^{n+1}}$ とおくと $2^n=\frac{\pi }{2t_n}$ より $4^n=\frac{{\pi }^2}{4t_n^2}$ であるから
$$b_n=\frac{4t_n^2}{{\pi }^2{\sin }^2{t}_n}=\frac{4}{{\pi }^2}{\left(\frac{t_n}{\sin t_n}\right)}^2$$
$n\to \infty$ のとき $t_n\to 0$ であり、$\underset{t\to 0}{\lim }\frac{\sin t}{t}=1$ より $\frac{t_n}{\sin t_n}\to 1$。よって
$$\underset{n\to \infty }{\lim }{b}_n=\frac{4}{{\pi }^2}$$

したがって
$$\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n=1-\frac{4}{{\pi }^2}$$
であり、求める極限値は $1-\frac{4}{{\pi }^2}$ である。

${\theta }_k=\frac{\pi }{2^{k+1}}$ とおく。$\frac{1}{{\sin }^{2}x}+\frac{1}{{\cos }^{2}x}=\frac{1}{{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x}=\frac{4}{{\sin }^{2}2x}$ より $\frac{1}{{\cos }^{2}x}=\frac{4}{{\sin }^{2}2x}-\frac{1}{{\sin }^{2}x}$。$x={\theta }_k$ とすると $2{\theta }_k={\theta }_{k-1}$（${\theta }_0=\frac{\pi }{2}$）なので
$$\frac{1}{4^k{\cos }^2{\theta }_k}=\frac{1}{4^{k-1}{\sin }^2{\theta }_{k-1}}-\frac{1}{4^k{\sin }^2{\theta }_k}.$$
$a_k=\frac{1}{4^k{\sin }^2{\theta }_k}$ とおくと、各項は $a_{k-1}-a_k$ であるから、
$$\sum _{k=1}^n\frac{1}{4^k{\cos }^2{\theta }_k}=a_0-a_n=1-\frac{1}{4^n{\sin }^2\frac{\pi }{2^{n+1}}}.$$
($a_0=\frac{1}{{\sin }^2(\pi /2)}=1$)
ここで $h=\frac{\pi }{2^{n+1}}$ とおくと $4^n=\frac{{\pi }^2}{4h^2}$ だから $4^n{\sin }^{2}h=\frac{{\pi }^2}{4}{\left(\frac{\sin h}{h}\right)}^2\to \frac{{\pi }^2}{4}$ ($n\to \infty$)。よって $a_n\to \frac{4}{{\pi }^2}$。
極限値は $1-\frac{4}{{\pi }^2}$。
検算: $n=1$ のとき和は $\frac{1}{4{\cos }^2(\pi /4)}=\frac{1}{2}$、公式 $1-a_1=1-\frac{1}{4{\sin }^2(\pi /4)}=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$ で一致。