極限の問題

$$h=\frac{e^{x^2}+\cos 2x}{2\cos 3x}-1=\frac{e^{x^2}+\cos 2x-2\cos 3x}{2\cos 3x}$$
とおく。$x\to 0$ のとき $\cos 3x\to 1$ なので、$x=0$ の近くでは $\cos 3x>0$ であり、極限を考える式の底は $1+h$ である。

$\frac{h}{x^2}$ の極限

分子を次のように分ける。
$$e^{x^2}+\cos 2x-2\cos 3x=(e^{x^2}-1)+(\cos 2x-1)-2(\cos 3x-1)$$
それぞれについて、$\underset{t\to 0}{\lim }\frac{e^t-1}{t}=1$, $\underset{t\to 0}{\lim }\frac{\sin t}{t}=1$ を用いると
$$\frac{e^{x^2}-1}{x^2}\to 1$$
$$\frac{\cos 2x-1}{x^2}=-\frac{2{\sin }^{2}x}{x^2}=-2{\left(\frac{\sin x}{x}\right)}^2\to -2$$
$$\frac{-2(\cos 3x-1)}{x^2}=\frac{4{\sin }^2\frac{3x}{2}}{x^2}=4\cdot \frac{9}{4}{\left(\frac{\sin \frac{3x}{2}}{\frac{3x}{2}}\right)}^2\to 9$$
である。よって
$$\frac{h}{x^2}=\frac{1}{2\cos 3x}\cdot \frac{e^{x^2}+\cos 2x-2\cos 3x}{x^2}\to \frac{1}{2}\cdot (1-2+9)=4$$
となる。特に、$x$ が $0$ に十分近いとき（$x\ne 0$）$h>0$ であり、$h\to 0$ である。

極限の計算

底は正なので、自然対数をとると
$$\log {\left(\frac{e^{x^2}+\cos 2x}{2\cos 3x}\right)}^{\frac{1}{x\sin x}}=\frac{\log (1+h)}{x\sin x}=\frac{\log (1+h)}{h}\cdot \frac{h}{x^2}\cdot \frac{x}{\sin x}$$
である。$h\to 0$ だから $\frac{\log (1+h)}{h}=\log (1+h{)}^{\frac{1}{h}}\to \log e=1$ であり、$\frac{x}{\sin x}\to 1$ なので
$$\frac{\log (1+h)}{x\sin x}\to 1\cdot 4\cdot 1=4$$
となる。指数関数 $e^t$ は連続だから、求める極限値は
$$e^4$$
である。

底を $1+g(x)$ の形にする。
$$\frac{e^{x^2}+\cos 2x}{2\cos 3x}-1=\frac{(e^{x^2}-1)+(\cos 2x-1)+2(1-\cos 3x)}{2\cos 3x}$$

各項を $x^2$ で割った極限：
- $\frac{e^{x^2}-1}{x^2}\to 1$
- $\frac{\cos 2x-1}{x^2}=-\frac{1-\cos 2x}{x^2}=-\frac{2{\sin }^{2}x}{x^2}\cdot$ ではなく、$\frac{1-\cos 2x}{x^2}=\frac{4{\sin }^{2}x\cdot }{}$ の形に直すより、$\frac{1-\cos ax}{x^2}=\frac{1-{\cos }^{2}ax}{x^2(1+\cos ax)}={\left(\frac{\sin ax}{ax}\right)}^2\frac{a^2}{1+\cos ax}\to \frac{a^2}{2}$ を使う。$a=2$ で $\frac{1-\cos 2x}{x^2}\to 2$、$a=3$ で $\frac{1-\cos 3x}{x^2}\to \frac{9}{2}$。

よって $g(x)=\frac{e^{x^2}+\cos 2x}{2\cos 3x}-1$ について
$$\frac{g(x)}{x^2}=\frac{\frac{e^{x^2}-1}{x^2}-\frac{1-\cos 2x}{x^2}+2\cdot \frac{1-\cos 3x}{x^2}}{2\cos 3x}\to \frac{1-2+9}{2}=4.$$

与式 $={\left(1+g\right)}^{1/(x\sin x)}={\left\{(1+g{)}^{1/g}\right\}}^{g/(x\sin x)}$。$g\to 0$ で $(1+g{)}^{1/g}\to e$。また $\frac{g}{x\sin x}=\frac{g}{x^2}\cdot \frac{x}{\sin x}\to 4\cdot 1=4$。

よって極限値は $e^4$。

検算：テイラー展開で底は $\frac{2-x^2+\cdots }{2-9x^2+\cdots }=1+4x^2+\cdots$、$\log$ は $4x^2$ に近く、$x\sin x\approx x^2$ で割ると 4。一致する。