極限の問題

$x\to 0$ のとき分子・分母はともに $0$ に近づくので、よく知られた極限
$$\underset{t\to 0}{\lim }\frac{e^t-1}{t}=1,\underset{t\to 0}{\lim }\frac{\tan t}{t}=1,\underset{t\to 0}{\lim }\frac{\sin t}{t}=1$$
が使える形に変形する。

分子の変形. $e^{3x}-e^x=e^x\left(e^{2x}-1\right)$ である。

分母の変形. 半角の公式（2 倍角の公式）より $1-\cos 2x=2{\sin }^{2}x$ である。

よって $x\ne 0$（$0$ の近く）で
$$\frac{\left(e^{3x}-e^x\right)\tan 2x}{1-\cos 2x}=\frac{e^x\left(e^{2x}-1\right)\tan 2x}{2{\sin }^{2}x}.$$
これを
$$=\frac{e^x}{2}\cdot \frac{e^{2x}-1}{2x}\cdot 2x\cdot \frac{\tan 2x}{2x}\cdot 2x\cdot {\left(\frac{x}{\sin x}\right)}^2\cdot \frac{1}{x^2}$$
$$=\frac{e^x}{2}\cdot 4\cdot \frac{e^{2x}-1}{2x}\cdot \frac{\tan 2x}{2x}\cdot {\left(\frac{x}{\sin x}\right)}^2$$
$$=2e^x\cdot \frac{e^{2x}-1}{2x}\cdot \frac{\tan 2x}{2x}\cdot {\left(\frac{x}{\sin x}\right)}^2$$
と変形する。$x\to 0$ のとき $2x\to 0$ なので
$$e^x\to 1,\frac{e^{2x}-1}{2x}\to 1,\frac{\tan 2x}{2x}\to 1,\frac{x}{\sin x}\to 1.$$
したがって
$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\left(e^{3x}-e^x\right)\tan 2x}{1-\cos 2x}=2\cdot 1\cdot 1\cdot 1\cdot 1^2=2.$$

$\frac{(e^{3x}-e^x)\tan 2x}{1-\cos 2x}$ を変形する。$e^{3x}-e^x=e^x(e^{2x}-1)$、$1-\cos 2x=2{\sin }^{2}x$ なので、\n$$\frac{e^x\cdot \frac{e^{2x}-1}{2x}\cdot 2x\cdot \frac{\tan 2x}{2x}\cdot 2x}{2{\left(\frac{\sin x}{x}\right)}^2{x}^2}=\frac{4x^2}{2x^2}\cdot \frac{e^x\cdot \frac{e^{2x}-1}{2x}\cdot \frac{\tan 2x}{2x}}{{\left(\frac{\sin x}{x}\right)}^2}\to 2\cdot \frac{1\cdot 1\cdot 1}{1}=2.$$\n検算: $x=0.01$ で $e^{0.03}-e^{0.01}\approx 0.0202$、$\tan 0.02\approx 0.020003$、$1-\cos 0.02\approx 0.00019999$。分子 $\approx 4.04\times 10^{-4}$、比 $\approx 2.02$ で 2 に近い。