基本の極限の組合せ

$\frac{1 - c o s x}{x ^{2}} \to \frac{1}{2}$ , $\frac{e ^{x} - 1}{x} \to 1$ などを導き、分子の有理化や分子分母を $x^{2}$ で割る変形で、 $lim_{x \to 0} \frac{e ^{x^{2}} - c o s x}{x s i n x}$ のような式を基本の極限の組合せに直して求められる

前提

$sin x / x$ の極限（数学III 極限）
自然対数の底 $e$ （数学III 極限）

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算数中学高校大学大学院

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対数の定義と性質（数学II 指数関数と対数関数）
自然対数の底 $e$ （数学III 極限）

説明

$lim_{x \to 0} \frac{s i n x}{x} = 1$ と $e = lim_{h \to 0} (1 + h)^{\frac{1}{h}}$ から、 $lim_{x \to 0} \frac{1 - c o s x}{x ^{2}} = \frac{1}{2}$ や $lim_{x \to 0} \frac{e ^{x} - 1}{x} = 1$ といった基本の極限を導きます。そのうえで、そのままでは $\frac{0}{0}$ の形になって値がわからない極限を、いくつかの基本の極限の和・積・商に分けて求めます。指数関数と三角関数が混ざった式や、 $x sin x$ のように $x^{2}$ 程度の速さで $0$ に近づく分母をもつ式などで使います。

なぜそうしてよいのか

まず 2 つの基本の極限を導きます。 $\frac{1 - c o s x}{x ^{2}}$ の分子と分母に $1 + cos x$ を掛けると、 $\frac{1 - c o s ^{2} x}{x ^{2} ( 1 + c o s x )} = (\frac{s i n x}{x})^{2} \cdot \frac{1}{1 + c o s x}$ となります。 $x \to 0$ で $\frac{s i n x}{x} \to 1$ 、 $1 + cos x \to 2$ なので、極限は $1^{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ です。次に $\frac{e ^{x} - 1}{x}$ では $t = e^{x} - 1$ とおきます。 $x \to 0$ のとき $t \to 0$ で、 $x \neq = 0$ なら $t \neq = 0$ です。また $t > - 1$ なので $x = lo g (1 + t)$ と書けます。よって $\frac{e ^{x} - 1}{x} = \frac{t}{l o g ( 1 + t )} = \frac{1}{\frac{1}{t} l o g ( 1 + t )} = \frac{1}{l o g ( ( 1 + t ) ^{\frac{1}{t}} )}$ となります。 $t \to 0$ のとき $(1 + t)^{\frac{1}{t}} \to e$ です。 $lo g$ は連続な関数なので、中身が $e$ に近づけば $lo g ((1 + t)^{\frac{1}{t}}) \to lo g e = 1$ となります。したがって極限は $\frac{1}{1} = 1$ です。同じ計算で $lim_{x \to 0} \frac{l o g ( 1 + x )}{x} = lim_{x \to 0} lo g ((1 + x)^{\frac{1}{x}}) = 1$ もわかります。ここで $lo g$ は底が $e$ の自然対数です。

基本の極限の中身の文字は $x$ でなくてもかまいません。 $0$ でないまま $0$ に近づくものなら何でもよいのです。たとえば $u = x^{2}$ とすると、 $x \to 0$ のとき $u \to 0$ かつ $u \neq = 0$ なので、 $\frac{e ^{x^{2}} - 1}{x ^{2}} \to 1$ です。ただし中身と分母はそろえる必要があります。そろわないときは、 $\frac{e ^{3 x} - 1}{x} = 3 \cdot \frac{e ^{3 x} - 1}{3 x} \to 3$ のように係数を外に出して調整します。

複雑な式が $\frac{0}{0}$ の形のままでは、極限の値はわかりません。そこで分子と分母をそれぞれ $x^{2}$ などで割り、各部分が基本の極限になるように分けます。たとえば分子の $e^{x^{2}} - cos x$ は、 $1$ を足して引いて $(e^{x^{2}} - 1) + (1 - cos x)$ と、 $0$ に近づく部分どうしの和に分けます。各部分の極限が有限の値で存在すれば、和・差・積の極限はそれぞれの極限の和・差・積になります。さらに分母の極限が $0$ でなければ、商の極限も極限どうしの商になります。根号を含む場合は、分子を有理化して基本の形を作ります。たとえば $\frac{1 + x - 1}{x} = \frac{1}{1 + x + 1} \to \frac{1}{2}$ です。

手順

分母が $0$ に近づく速さを見て、割る式を決める。分母が $x$ と同程度なら $x$ で、 $x sin x$ や $x^{2}$ のような式なら $x^{2}$ で、分子と分母をともに割る（ $x \neq = 0$ ）。
分子を、それぞれ $0$ に近づく部分の和や差に分ける。基本は $1$ を足して引くこと。例: $e^{x^{2}} - cos x = (e^{x^{2}} - 1) + (1 - cos x)$
各部分を基本の極限の形にそろえる。中身と分母を一致させ、ずれる分は係数として外に出す。例: $\frac{1 - c o s 2 x}{x ^{2}} = 4 \cdot \frac{1 - c o s 2 x}{( 2 x ) ^{2}}$ 。根号を含むときは有理化する。
基本の極限 $\frac{s i n x}{x} \to 1$ 、 $\frac{1 - c o s x}{x ^{2}} \to \frac{1}{2}$ 、 $\frac{e ^{x} - 1}{x} \to 1$ 、 $\frac{l o g ( 1 + x )}{x} \to 1$ を当てはめ、各部分の極限を求める。
各部分の極限が有限の値で存在すること、分母の極限が $0$ でないことを確かめる。そのうえで、和・積・商として組み合わせる。

例題

極限 $x \to 0 lim \frac{e ^{3 x^{2}} - cos 2 x}{x sin x}$ を求めよ。

例題の解答

【手順1】分母 $x sin x$ は $x^{2}$ と同程度の速さで $0$ に近づくので、分子と分母を $x^{2}$ で割る（ $x \neq = 0$ ）。
$\frac{e ^{3 x^{2}} - cos 2 x}{x sin x} = \frac{\frac{e ^{3 x^{2}} - cos 2 x}{x ^{2}}}{\frac{sin x}{x}}$
【手順2】分子に $1$ を足して引き、2 つの部分に分ける。
$\frac{e ^{3 x^{2}} - cos 2 x}{x ^{2}} = \frac{e ^{3 x^{2}} - 1}{x ^{2}} + \frac{1 - cos 2 x}{x ^{2}}$
【手順3】中身と分母をそろえる。
$\frac{e ^{3 x^{2}} - 1}{x ^{2}} = 3 \cdot \frac{e ^{3 x^{2}} - 1}{3 x ^{2}}, \frac{1 - cos 2 x}{x ^{2}} = 4 \cdot \frac{1 - cos 2 x}{( 2 x ) ^{2}}$
【手順4】 $x \to 0$ のとき、 $3 x^{2} \to 0$ かつ $3 x^{2} \neq = 0$ 、 $2 x \to 0$ かつ $2 x \neq = 0$ である。よって $\frac{e ^{3 x^{2}} - 1}{3 x ^{2}} \to 1$ 、 $\frac{1 - c o s 2 x}{( 2 x ) ^{2}} \to \frac{1}{2}$ となる。したがって分子は $3 \cdot 1 + 4 \cdot \frac{1}{2} = 5$ に近づく。分母は $\frac{s i n x}{x} \to 1$ である。
【手順5】各部分の極限は有限の値で、分母の極限は $1 \neq = 0$ である。よって商の極限として組み合わせられる。
$x \to 0 lim \frac{e ^{3 x^{2}} - cos 2 x}{x sin x} = \frac{5}{1} = 5$

答え: $5$

よくある誤り

$\frac{1 - c o s x}{x ^{2}} \to 1$ と覚えてしまう誤り。正しくは、 $1 + cos x$ を掛けると $(\frac{s i n x}{x})^{2} \cdot \frac{1}{1 + c o s x}$ となるので、極限は $\frac{1}{2}$ である。
中身と分母をそろえずに $\frac{e ^{3 x^{2}} - 1}{x ^{2}} \to 1$ や $\frac{1 - c o s 2 x}{x ^{2}} \to \frac{1}{2}$ としてしまう誤り。正しくは $\frac{e ^{3 x^{2}} - 1}{x ^{2}} = 3 \cdot \frac{e ^{3 x^{2}} - 1}{3 x ^{2}} \to 3$ 、 $\frac{1 - c o s 2 x}{x ^{2}} = 4 \cdot \frac{1 - c o s 2 x}{( 2 x ) ^{2}} \to 2$ である。
$\frac{e ^{x^{2}} - c o s x}{x ^{2}} = \frac{e ^{x^{2}}}{x ^{2}} - \frac{c o s x}{x ^{2}}$ のように、発散する部分に分けてしまう誤り。これは $\infty - \infty$ の形になり、極限の差の法則は使えない。正しくは、 $1$ を足して引いて $\frac{e ^{x^{2}} - 1}{x ^{2}} + \frac{1 - c o s x}{x ^{2}}$ と、それぞれが有限の値に近づく部分に分ける。
分母が $0$ に近づくまま商の法則を使ってしまう誤り。たとえば $\frac{e ^{x^{2}} - c o s x}{x s i n x}$ で分子と分母の極限を別々に取ると $\frac{0}{0}$ となり、値は決まらない。正しくは、先に分子と分母を $x^{2}$ で割り、分母の極限を $\frac{s i n x}{x} \to 1 (\neq = 0)$ にしてから商の極限を取る。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

基本の極限の組合せ

前提

説明

なぜそうしてよいのか

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よくある誤り

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