極限の問題

1. 分子が 0 に近づく必要があること

$x\ne 0$ のとき $x$ と $e^{2x}-1$ は同符号なので、$x\left(e^{2x}-1\right)>0$ である。また $x\to 0$ のとき $x\left(e^{2x}-1\right)\to 0$ である。

極限が有限の値 $-\frac{1}{24}$ になるためには、分子も $0$ に近づかなければならない。実際、
$$\sqrt{a+\cos x}-b=\frac{\sqrt{a+\cos x}-b}{x\left(e^{2x}-1\right)}\cdot x\left(e^{2x}-1\right)\to -\frac{1}{24}\cdot 0=0$$
となる。

2. $a,b$ の関係

$x=0$ の近くの $0$ でない $x$ で $\sqrt{a+\cos x}$ が定義されなければならない。そのような $x$ では $\cos x<1$ なので、$a\geqq -\cos x>-1$ が必要である。よって $a>-1$ である。

このとき分子は連続で、$x\to 0$ で $\sqrt{a+1}-b$ に近づく。これが $0$ であることから
$$b=\sqrt{a+1}>0$$
を得る。

3. 極限の計算

$b=\sqrt{a+1}$ のもとで分子を有理化すると
$$\sqrt{a+\cos x}-b=\frac{(a+\cos x)-(a+1)}{\sqrt{a+\cos x}+b}=\frac{\cos x-1}{\sqrt{a+\cos x}+b}$$
となる。したがって
$$\frac{\sqrt{a+\cos x}-b}{x\left(e^{2x}-1\right)}=\frac{\cos x-1}{x^2}\cdot \frac{x}{e^{2x}-1}\cdot \frac{1}{\sqrt{a+\cos x}+b}$$
と分解できる。それぞれの因数の極限を求める。

- 第 1 因数:
$$\frac{\cos x-1}{x^2}=-\frac{1-{\cos }^{2}x}{x^2(1+\cos x)}=-{\left(\frac{\sin x}{x}\right)}^2\cdot \frac{1}{1+\cos x}\to -1\cdot \frac{1}{2}=-\frac{1}{2}$$
- 第 2 因数: $t=2x$ とおくと、$x\to 0$ のとき $t\to 0$ であり、
$$\frac{x}{e^{2x}-1}=\frac{1}{2}\cdot \frac{t}{e^t-1}\to \frac{1}{2}\cdot 1=\frac{1}{2}$$
- 第 3 因数:
$$\frac{1}{\sqrt{a+\cos x}+b}\to \frac{1}{\sqrt{a+1}+b}=\frac{1}{2b}$$

よって、求める極限は
$$\left(-\frac{1}{2}\right)\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2b}=-\frac{1}{8b}$$
である。

4. $a$ の決定

$$-\frac{1}{8b}=-\frac{1}{24}$$
より $b=3$ である。これは $b>0$ を満たす。

$\sqrt{a+1}=3$ より $a+1=9$、すなわち $a=8$ である。

逆に $a=8,b=3$ のとき、$a+\cos x\geqq 7>0$ なので根号はつねに定義される。上の計算により極限は確かに $-\frac{1}{24}$ となる。

以上より、$a=8$ である。

分母は $x(e^{2x}-1)\to 0$ なので、極限が有限値になるには分子も $0$ に近づく必要がある。よって $\sqrt{a+1}=b$ であり、$b\ge 0$、$a+1=b^2$ となる。

分子を有理化すると
$$\sqrt{a+\cos x}-b=\frac{a+\cos x-b^2}{\sqrt{a+\cos x}+b}=\frac{\cos x-1}{\sqrt{a+\cos x}+b}$$
となる。ここで $\cos x-1=-2{\sin }^2(x/2)$ である。

分母側は $x(e^{2x}-1)=2x^2\cdot \frac{e^{2x}-1}{2x}$ と変形できる。

また $\frac{\cos x-1}{x^2}\to -\frac{1}{2}$、$\frac{e^{2x}-1}{2x}\to 1$ である。

したがって極限は
$$\frac{-1/2}{2b\cdot 2}=-\frac{1}{8b}$$
となる（ただし $b>0$ とする。$b=0$ なら $a=-1$ で分子が $\sqrt{\cos x-1}$ となり定義できない）。

$-\frac{1}{8b}=-\frac{1}{24}$ より $b=3$。したがって $a=b^2-1=8$。

検算：$a=8,b=3$ のとき、分子は $\sqrt{8+\cos x}-3\approx -x^2/12$、分母は $\approx 2x^2$ なので、極限は $-\frac{1}{24}$ となり条件を満たす。