は実数の定数とする。極限
が有限の値に収束するとき、その極限値を求めよ。
極限値が存在する条件と係数の決定
が有限の値で のとき が必要であることを使って定数を決め、その極限値を求められる（例: が で収束する と極限値）
前提
- 関数の極限 （数学III 極限）
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説明
分母が に近づく分数の極限について、「極限値が有限の値として存在する」という情報から、式に含まれる定数の値を決める技能です。分母が に近づくのに極限が有限になるには、分子も に近づかなければなりません。この条件で定数の値を決め、そのあと実際に極限値を計算します。定数を含む極限の問題や、「極限値が となるように を定めよ」という問題で使います。
なぜそうしてよいのか
（ は有限の値）で、 だとします。 で のとき、分子は と書けます。どちらの因数も極限をもつので、積の極限の性質から となります。つまり「分母 かつ極限が有限」ならば「分子 」が必ず成り立ちます。直観的には、分母がいくらでも小さくなるのに分子が でない値に近づくと、分数の絶対値はいくらでも大きくなってしまい、有限の値に収まらないということです。
この条件は分子に含まれる定数についての方程式になるので、定数が求まります。ただし、これは「極限が存在するなら成り立つ」という必要条件にすぎません。分子 でも、たとえば のように発散することがあります。そこで、求めた定数を代入し、因数分解や有理化で の不定形を解消して、極限値が本当に有限の値になることを確かめます（十分性の確認）。この計算で極限値も同時に求まります。
手順
分母 が で に近づくことを確かめる。
「 より 」と、分子 が必要であることを書く。
分子の極限を計算して を定数についての方程式にし、それを解いて定数を求める。
求めた定数を元の式に代入し、因数分解や有理化で不定形を解消して極限を計算する。有限の値になれば十分性も確かめられ、それが極限値である。
例題
が有限の値に収束するように定数 の値を定め、そのときの極限値を求めよ。 の値、極限値の順に答えよ。
例題の解答
【手順1】 のとき分母 である。
【手順2】極限値を とすると、 なので が必要である。
【手順3】 なので 。よって 、両辺を2乗して より 。
【手順4】 のとき、分子を有理化すると （ なので で約分できる）。したがって となり、確かに有限の値に収束する。
よって 、極限値は 。
答え:
よくある誤り
分子 の条件だけで答えを出したつもりになる誤り。たとえば では、条件 だけでは は決まらない。正しくは を代入して とし、 から と決める。
必要条件で求めた定数を代入して極限を確かめない誤り。分子 でも発散することがある（例: は で発散）。正しくは代入後に不定形を解消し、極限が有限の値になることを必ず確認する。
分母が に近づかないのに「分子 」を条件にしてしまう誤り。たとえば は分母 なので、どんな でも に収束する。正しくは、分子 が必要になるのは分母 のときだけである。
の形になったところで極限値を や と決めてしまう誤り。例題で のとき は の形だが、極限値は ではない。正しくは有理化して と計算する。
この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。
入口の問題
を実数の定数とする。極限
が有限の値に収束するとき、その極限値を求めよ。は実数の定数とする。極限 が有限の値に収束するとき、その極限値を求めよ。