極限の問題

手順1：分子が $0$ に近づく必要があることを使う

$x\to 1$ のとき、分母 $x-1$ は $0$ に近づきます。

この極限が有限の値 $\alpha$ に収束すると仮定します。分子は
$$x^2+ax-3=\frac{x^2+ax-3}{x-1}\cdot (x-1)$$
と書けるので、
$$\underset{x\to 1}{\lim }(x^2+ax-3)=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x^2+ax-3}{x-1}\cdot \underset{x\to 1}{\lim }(x-1)=\alpha \cdot 0=0$$
となります。

したがって、分子も $0$ に近づかなければなりません。

手順2：条件から $a$ を決める

分子は多項式なので、$x\to 1$ のときの極限は $x=1$ を代入した値になります。
$$1^2+a\cdot 1-3=0$$
より $a-2=0$ です。よって $a=2$ となります。

手順3：$a=2$ のときの極限値を計算する（十分性の確認）

$a=2$ のとき、分子は
$$x^2+2x-3=(x-1)(x+3)$$
と因数分解できます。

$x\ne 1$ のとき $x-1$ で約分できるので、
$$\underset{x\to 1}{\lim }\frac{(x-1)(x+3)}{x-1}=\underset{x\to 1}{\lim }(x+3)=1+3=4$$
です。

確かに有限の値に収束するので、$a=2$ が求める値であり、極限値は $4$ です。

$x\to 1$ で分母 $x-1\to 0$ なので、極限が有限の値に収束するには分子も $x=1$ で $0$ になる必要がある。
$1+a-3=0$ より $a=2$。
このとき分子は $x^2+2x-3=(x-1)(x+3)$ なので、
$$\underset{x\to 1}{\lim }\frac{(x-1)(x+3)}{x-1}=\underset{x\to 1}{\lim }(x+3)=4.$$
検算: $x=1.001$ のとき分子は $1.002001+2.002-3=0.004001$、これを $0.001$ で割ると $4.001$ で、$4$ に近い。
したがって極限値は $4$。