極限の問題

分母を $D(x)=e^{x^2}-\cos x$、分子を $N(x)=\sqrt{a+x\sin 2x}-2$ とおく。

分母の振る舞い
$$\frac{D(x)}{x^2}=\frac{e^{x^2}-1}{x^2}+\frac{1-\cos x}{x^2}$$
と分ける。$t=x^2$ とおくと、$x\to 0$ のとき $t\to 0$ なので
$$\frac{e^{x^2}-1}{x^2}=\frac{e^t-1}{t}\to 1$$
である。また
$$\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{(1-\cos x)(1+\cos x)}{x^2(1+\cos x)}={\left(\frac{\sin x}{x}\right)}^2\cdot \frac{1}{1+\cos x}\to 1^2\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{2}$$
である。よって
$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{D(x)}{x^2}=1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$$
となる。特に ${\lim }_{x\to 0}D(x)=0$ である。

必要条件
極限値を $c$（有限）とすると
$$\underset{x\to 0}{\lim }N(x)=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{N(x)}{D(x)}\cdot D(x)=c\cdot 0=0$$
となる。一方、$N(x)$ は $x=0$ で連続で、${\lim }_{x\to 0}N(x)=\sqrt{a}-2$ である。よって $\sqrt{a}-2=0$ より $a=4$ が必要である。

$a=4$ のときの極限
分子を有理化すると
$$N(x)=\sqrt{4+x\sin 2x}-2=\frac{(4+x\sin 2x)-4}{\sqrt{4+x\sin 2x}+2}=\frac{x\sin 2x}{\sqrt{4+x\sin 2x}+2}$$
となる。したがって
$$\frac{N(x)}{x^2}=\frac{\sin 2x}{x}\cdot \frac{1}{\sqrt{4+x\sin 2x}+2}=2\cdot \frac{\sin 2x}{2x}\cdot \frac{1}{\sqrt{4+x\sin 2x}+2}$$
である。$x\to 0$ のとき $\frac{\sin 2x}{2x}\to 1$、$x\sin 2x\to 0$ だから
$$\frac{N(x)}{x^2}\to 2\cdot 1\cdot \frac{1}{2+2}=\frac{1}{2}$$
となる。以上より
$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{N(x)}{D(x)}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{N(x)/x^2}{D(x)/x^2}=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{3}{2}}=\frac{1}{3}$$
である。$a=4$ のとき実際に有限の値に収束するので、条件を満たす。

(なお $a\ne 4$ のときは、分子が $\sqrt{a}-2\ne 0$ に近づき分母が $0$ に近づくので発散する。)

よって求める極限値は $\frac{1}{3}$ である。

分母について、$x\to 0$ で $e^{x^2}-\cos x\to 1-1=0$ である。分子の極限が $\sqrt{a}-2\ne 0$ なら、全体は発散する。有限値に収束するには $\sqrt{a}-2=0$、すなわち $a=4$ が必要である。

$a=4$ のとき、分子を有理化する。
$$\sqrt{4+x\sin 2x}-2=\frac{x\sin 2x}{\sqrt{4+x\sin 2x}+2}.$$
分母は $e^{x^2}-\cos x=(e^{x^2}-1)+(1-\cos x)$ と分ける。

与式を $x^2$ で割ると
$$\frac{\frac{x\sin 2x}{x^2}\cdot \frac{1}{\sqrt{4+x\sin 2x}+2}}{\frac{e^{x^2}-1}{x^2}+\frac{1-\cos x}{x^2}}.$$

各部分の極限は次のとおり。
- $\frac{x\sin 2x}{x^2}=\frac{\sin 2x}{x}\to 2$
- $\frac{1}{\sqrt{4+x\sin 2x}+2}\to \frac{1}{4}$
- $\frac{e^{x^2}-1}{x^2}\to 1$
- $\frac{1-\cos x}{x^2}\to \frac{1}{2}$

よって極限値は
$$\frac{2\cdot \frac{1}{4}}{1+\frac{1}{2}}=\frac{1/2}{3/2}=\frac{1}{3}.$$

検算として、テイラー展開で確かめる。分子は $\sqrt{4+2x^2+\cdots }-2\approx \frac{2x^2}{4}=\frac{x^2}{2}$、分母は $x^2+\frac{x^2}{2}=\frac{3x^2}{2}$ なので、比は $\frac{1}{3}$ となり一致する。

したがって $a=4$ で、極限値は $\frac{1}{3}$ である。