極限の問題

1. $b$ を決める

$x\to 0$ のとき分母 $x\sin 2x\to 0$ である。極限が有限の値 $4$ になるので、分子も $0$ に近づかなければならない。実際、
$$\underset{x\to 0}{\lim }\left(e^{a{x}^2}-b\cos 3x\right)=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^{a{x}^2}-b\cos 3x}{x\sin 2x}\cdot x\sin 2x=4\cdot 0=0$$
である。一方、この左辺は $e^0-b\cos 0=1-b$ に等しい。よって $1-b=0$ より $b=1$ である。

2. 極限値を計算する

$b=1$ のとき、分子は
$$e^{a{x}^2}-\cos 3x=\left(e^{a{x}^2}-1\right)+\left(1-\cos 3x\right)$$
と分けられる。それぞれを分母 $x\sin 2x$ で割った極限を求める。

(i) 第 2 項

$t\to 0$ のとき
$$\frac{1-\cos t}{t^2}=\frac{(1-\cos t)(1+\cos t)}{t^2(1+\cos t)}=\frac{{\sin }^{2}t}{t^2}\cdot \frac{1}{1+\cos t}\to 1\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{2}$$
である。また $\frac{\sin 2x}{2x}\to 1$ である。よって
$$\frac{1-\cos 3x}{x\sin 2x}=\frac{1-\cos 3x}{(3x{)}^2}\cdot 9\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{2x}{\sin 2x}\to \frac{1}{2}\cdot 9\cdot \frac{1}{2}=\frac{9}{4}$$
となる。

(ii) 第 1 項

$a=0$ のときは、この項は常に $0$ である。

$a\ne 0$ のときは、$t=a{x}^2$ とおく。$x\to 0$ のとき $t\to 0$ であり、$\frac{e^t-1}{t}\to 1$ を用いると
$$\frac{e^{a{x}^2}-1}{x\sin 2x}=\frac{e^{a{x}^2}-1}{a{x}^2}\cdot \frac{a}{2}\cdot \frac{2x}{\sin 2x}\to 1\cdot \frac{a}{2}\cdot 1=\frac{a}{2}$$
となる。

どちらの場合も、この項の極限は $\frac{a}{2}$ である。

(iii) まとめ

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^{a{x}^2}-\cos 3x}{x\sin 2x}=\frac{a}{2}+\frac{9}{4}$$

3. $a$ を決める

$\frac{a}{2}+\frac{9}{4}=4$ より $\frac{a}{2}=\frac{7}{4}$、すなわち $a=\frac{7}{2}$ である。

逆に $a=\frac{7}{2},b=1$ のとき、上の計算から極限は $\frac{7}{4}+\frac{9}{4}=4$ となり、条件を満たす。

したがって
$$a+b=\frac{7}{2}+1=\frac{9}{2}$$

$x\to 0$ で分母 $x\sin 2x\to 0$ なので、極限が有限値になるには分子 $e^{a{x}^2}-b\cos 3x\to 1-b=0$ が必要。よって $b=1$。

このとき分子を展開すると、$e^{a{x}^2}=1+a{x}^2+o(x^2)$、$\cos 3x=1-\frac{9}{2}{x}^2+o(x^2)$ より、分子は $\left(a+\frac{9}{2}\right)x^2+o(x^2)$。
分母は $x\sin 2x=2x^2+o(x^2)$。
したがって極限は $\frac{a+9/2}{2}=4$ となり、$a=8-\frac{9}{2}=\frac{7}{2}$。

よって $a+b=\frac{7}{2}+1=\frac{9}{2}$。

検算：$a=7/2,b=1$ のとき、分子は $\left(\frac{7}{2}+\frac{9}{2}\right)x^2=8x^2$、分母は $2x^2$ で、比は 4 となり条件を満たす。