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極限の問題

難易度 1教科書の例題レベル数学III 極限

$a$ は実数の定数とする。極限
$x \to 2 lim \frac{x ^{2} + a x - 10}{x - 2}$
が有限の値に収束するとき、その極限値を求めよ。

この問題で使うもの

極限値が存在する条件と係数の決定（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（13 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

「分母が $0$ に近づくのに極限値が有限なら、分子も $0$ に近づかなければならない」という、極限値が存在する条件を使います。

ヒント 2

$lim_{x \to 2} (x^{2} + a x - 10) = 0$ が必要です。 $x = 2$ を代入した式 $4 + 2 a - 10 = 0$ から $a$ を決めましょう。

ヒント 3

$a = 3$ となるので、分子は $x^{2} + 3 x - 10 = (x - 2) (x + 5)$ と因数分解できます。 $x - 2$ で約分してから $x \to 2$ としましょう。

答えと解説

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7

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手順1：分子が $0$ に近づくことが必要であることを使う

$x \to 2$ のとき、分母は $x - 2 \to 0$ となる。極限値が有限の値 $α$ であるとすると、
$x^{2} + a x - 10 = \frac{x ^{2} + a x - 10}{x - 2} \cdot (x - 2)$
と書けるので、
$x \to 2 lim (x^{2} + a x - 10) = α \cdot 0 = 0$
でなければならない。左辺は多項式なので、 $x = 2$ を代入して
$4 + 2 a - 10 = 0$
よって $a = 3$ が必要である。

手順2：求めた $a$ で実際に極限を計算する（十分性の確認）

$a = 3$ のとき、分子は
$x^{2} + 3 x - 10 = (x - 2) (x + 5)$
と因数分解できる。 $x \neq = 2$ では $x - 2$ で約分できるので、
$x \to 2 lim \frac{( x - 2 ) ( x + 5 )}{x - 2} = x \to 2 lim (x + 5) = 2 + 5 = 7$
となり、確かに有限の値に収束する。

したがって、求める極限値は $7$ である。

別解

$x \to 2$ のとき分母 $x - 2 \to 0$ なので、極限が有限の値に収束するには分子 $\to 0$ が必要。よって $2^{2} + 2 a - 10 = 0$ より $2 a = 6$ 、 $a = 3$ 。

このとき $x^{2} + 3 x - 10 = (x - 2) (x + 5)$ だから、
$x \to 2 lim \frac{( x - 2 ) ( x + 5 )}{x - 2} = x \to 2 lim (x + 5) = 7$

検算： $a = 3$ のとき $x = 2.001$ で分子は $4.004001 + 6.003 - 10 = 0.007001$ 、割ると約 $7.001$ となり、7 に近い。

よって極限値は $7$ 。

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