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極限の問題

難易度 1教科書の例題レベル数学III 極限

$a$ は実数の定数とする。極限 $x \to 2 lim \frac{x ^{2} + a x + 6}{x - 2}$ が有限の値に収束するとき、その極限値を求めよ。

この問題で使うもの

極限値が存在する条件と係数の決定（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（13 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

分母が $0$ に近づくのに極限値が有限の値になるには、分子がどうなる必要があるかを考えよう（極限値が存在する条件を使って係数を決める技能）。

ヒント 2

$lim_{x \to 2} (x - 2) = 0$ なので、 $lim_{x \to 2} (x^{2} + a x + 6) = 0$ が必要である。 $x = 2$ を代入して $a$ を求めよう。

ヒント 3

$4 + 2 a + 6 = 0$ より $a = - 5$ 。このとき分子は $x^{2} - 5 x + 6$ となり、 $(x - 2)$ を因数にもつ。因数分解して約分しよう。

答えと解説

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手順1：必要条件を立てる

$x \to 2$ のとき、分母は $x - 2 \to 0$ である。極限値が有限の値 $α$ であるとすると、
$x^{2} + a x + 6 = \frac{x ^{2} + a x + 6}{x - 2} \cdot (x - 2)$
と変形できる。右辺の極限は $α \cdot 0 = 0$ なので、
$x \to 2 lim (x^{2} + a x + 6) = 0$
でなければならない。つまり、分母が $0$ に近づくなら分子も $0$ に近づくことが必要である。

手順2：定数 $a$ を決める

$x^{2} + a x + 6$ は多項式なので、その極限は $x = 2$ を代入した値に等しい。よって
$2^{2} + 2 a + 6 = 0$
$2 a + 10 = 0$
となり、 $a = - 5$ を得る。

手順3： $a = - 5$ のときの極限値を求める（十分性の確認）

$a = - 5$ のとき、分子は
$x^{2} - 5 x + 6 = (x - 2) (x - 3)$
と因数分解できる。 $x \neq = 2$ では $x - 2 \neq = 0$ なので約分でき、
$x \to 2 lim \frac{( x - 2 ) ( x - 3 )}{x - 2} = x \to 2 lim (x - 3) = 2 - 3 = - 1$
となる。実際に有限の値に収束するので、 $a = - 5$ は条件を満たす。

したがって、求める極限値は $- 1$ である。

別解

分母 $x - 2 \to 0$ なので、極限が有限の値に収束するには分子 $x^{2} + a x + 6 \to 0$ 、すなわち $x = 2$ で $4 + 2 a + 6 = 0$ が必要。よって $a = - 5$ 。

このとき $x^{2} - 5 x + 6 = (x - 2) (x - 3)$ なので
$x \to 2 lim \frac{( x - 2 ) ( x - 3 )}{x - 2} = x \to 2 lim (x - 3) = - 1.$

確かめ: $a = - 5$ のとき $x = 2.001$ で分子は $4.004001 - 10.005 + 6 = - 0.000999$ 、分母は $0.001$ なので比は約 $- 0.999$ 。極限値 $- 1$ と合う。

（ $a \neq = - 5$ なら分子が 0 以外の値に近づき、極限は発散する。）

答え: $- 1$

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